数列“新定义”问题 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台 数列“新定义”问题 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考 一、单选题 1．已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A．28 B．29 C．30 D．31 2．定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则（ ） A． B． C． D． 3．已知两个各项均不为零的无穷数列和，若对于数列中的任意一项，总在数列中存在一项，使得，则称数列是数列的“数列”.对于以下两个命题，说法正确的是（ ）. ①对于任意等比数列，总存在等比数列是其“数列”； ②存在公差不为零的等差数列，使其“数列”是等差数列. A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 4．一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断： ①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（ ） A．②③④ B．②④ C．②③ D．①②③④ 5．定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（ ） A． B． C． D． 6．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（ ） A．62 B．63 C．64 D．65 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（ ） A．2023 B．2024 C．1 D．2 二、多选题 8．若无穷数列对于任意正整数均有，则称是形数列，则（ ） A．数列是形数列 B．“数列是形数列”的充要条件是“” C．若正项单调数列是形数列，则是形数列 D．若两个正项递增数列均是形数列，则对于任意正整数m，n，均有 9．定义：已知数列的前n项和，若，，使得，则称数列为分解数列．基于上述事实，则（ ） A．若数列为非零常数列，则数列不可能为分解数列 B．若，则数列为分解数列 C．若首项为1的非常数列为分解数列，则 D．若首项为2的非常数列为分解数列，则数列的前n项和小于1 10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为．则（ ） A．当时，的值为16 B．当时， C．当时，是10步“雹程” D．当时， 11．帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C．是偶数 D． 三、填空题 12．已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.则数列的通项公式为 ；若定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，则在区间内所有“调和数”之和为 . 13．若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数；为取整函数，它表示不超过x的最大整数，例如，；设的递归函数为，，且，的前n项和记为，若，则为 ． 14．若一个等比数列有无穷多项，并且它的公比满足，则称为无穷递缩等比数列.研究发现：当时，无穷递缩等比数列 ... ...