第18章 矩形、菱形与正方形 专练11 矩形的性质与判定的综合 类型一 矩形的性质 1．（1） 证明： 四边形是矩形， ，. 在和中， ，. （2） 解：如答图，连结. 第1题答图 ，， . 在中， . 由（1）知， . 四边形是矩形， ， ， . ，即 ， . ，， . 2．（1） 证明：如答图，连结，交于点. 第2题答图 四边形是矩形， ，. 又，， 四边形是平行四边形. （2） 解：，， . 四边形是矩形， ， ， . 3．（1） 解： 四边形是矩形， ，，， . 由折叠的性质，得， ， . 设， 则. 在中，由勾股定理，得， ， 解得，. . （2） ，，， . 由折叠的性质，得，， ， . 设，则. 在中，由，得 ， 解得，， . （3） 如答图，连结交于点，过点作于点， 第3题答图 则 ， 四边形是矩形. 点与点重合， 垂直平分，. 同（1）可得. 又是矩形的中心， . ， ，， . 类型二 矩形的判定 4．（1） 解：、都是等边三角形， ，， ， . 在和中， ，. 是等边三角形， ，. 同理可证， 四边形是平行四边形. （2） 当 时，四边形是矩形.理由如下： 若四边形是矩形，则 ， ， 当 时，四边形是矩形. （3） 当 时，以为顶点的四边形不存在.理由如下： 若 ，则 . 此时，点共线， 当 时，以为顶点的四边形不存在. 5．（1） 证明：， . 平分， ， ， . 同理可得，. （2） 解：当点运动到的中点时，四边形是矩形. 证明：由（1）得. 又是的中点，， 四边形是平行四边形. ， ，， 四边形是矩形. （3） 24易错易混五 矩形、菱形与正方形 易错点一 混淆矩形的性质和判定定理 1．解：是等腰直角三角形， . 又 四边形是矩形， 和也是等腰直角三角形， . 又,. , , 即, ， 矩形的周长为. 2．（1） 证明： 四边形是平行四边形， ，. ， ，， 四边形是平行四边形. ， ， 四边形是矩形. （2） 解： 四边形是矩形， ，. ，， ，， ， . , ， 是等腰直角三角形， . 在中，由勾股定理，得. 易错点二 混淆菱形的性质和判定定理 3． 4．证明： 四边形是平行四边形， ，， ，， . ，， . 在和中， ， ， 四边形是菱形. 易错点三 混淆正方形的性质和判定定理 5．（1） 证明： 四边形是正方形， ， ， . ，， ， ， ， ，. （2） 解：是等腰直角三角形.理由如下： 如答图，连结. 第5题答图 点是正方形的中心， ，，. 由（1）知， ， . 又，， ， ，. ， ， ， 是等腰直角三角形. 易错点四 混淆菱形、矩形、正方形性质与判定 6．B 7． 或 易错点五 不知如何添加辅助线 8．证明：如答图，过点作，交于点，交于点；过点作，交于点，交于点， 第8题答图 则,,， ， 即. 易错点六 不知如何证明线段相等 9．证明：如答图，连结. 第9题答图 四边形是矩形， , , . , . 又, ， . 又 ,, ， .专练12 以正方形为背景的证明与计算 类型一 正方形的性质 1．B 2．（1） 证明：为等边三角形， ，. 四边形为正方形， ， ， ，， 在和中， ，. （2） 解：是正方形的对角线， . 由（1）得 ，，， ， . 3．（1） 解： 四边形是正方形，是等边三角形， ， ， ， ，， ， ； . （2） 证明：如答图①，连结， 第3题答图① 同法（1）可得： . 四边形是正方形，是等边三角形， ， ， ， ， ，. （3） 解：如答图②，连结，交于点， 第3题答图② 则， . ， ， ， ， ，， ， . 由（2）知， . 类型二 正方形的判定 4．证明： 四边形是矩形， . 是等边三角形， ， . ， ， ， ， ， 矩形是正方形. 5．（1） 证明：是的中点， . ， . 在和中， ，. 又， 四边形是平行四边形. 是等腰三角形底边上的高， ， 四边形是矩形. （2） ① 120 ② 20 类型三 正方形的探究型问题 6．（1） 解：，， ， . 四边形是正方形， ， ， . 由旋转的性质，得， . （2） ① 四边形是正方形.理由如下：由旋转的性质，得， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边 ... ...
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