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课件网) 第5章 特殊平行四边形 5.3 正方形 八下数学 ZJ 1.理解正方形的概念，发展几何直观。 2.探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行计 算和证明，发展推理能力。 3.理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。 1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行四边形叫作正方形。 2.正方形的判定 正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，因此可分 别从平行四边形、矩形、菱形出发，寻找判定正方形的方法，总结 如下表：#1.2.1 从平行四边形 出发 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四 边形是正方形。 有一组邻边相等，并且对角线相等的平行四边形 是正方形。 有一个角是直角，并且对角线互相垂直的平行四 边形是正方形。 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 从矩形出发 有一组邻边相等的矩形是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。 从菱形出发 有一个角是直角的菱形是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。 敲黑板 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系#1.2.1.3 典例1 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便 得到正方形： .两组对边分别相等 .一组对边平行且相等 .一组邻边相等 .一个角是直角 顺次添加的条件： ; ; 。 则正确的是( ) A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 解析： 序号 判断过程 判断 ① 两组对边分别相等 平行四边形一组邻边相等 菱形一个角是直角 正方形 正确 ② 一组对边平行且相等 平行四边形一个角是直角 矩形一组邻边相等 正方形 正确 ③ 两组对边分别相等 平行四边形 一组对边平行且 相等 平行四边形一组邻边相等 菱形 错误 典例1 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便 得到正方形： .两组对边分别相等 .一组对边平行且相等 .一组邻边相等 .一个角是直角 顺次添加的条件： ; ; 。 则正确的是( ) C A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 正方形既是菱形，又是矩形，因此它同时具有菱形、矩形的一切性 质。具体如下表：#4.1 性质 符号语言 图示 边 定理1:正方形的四条边相等。 因为四边形 是正方形， 所以 。 角 定理1:正方形的四个角都是直角。 因为四边形 是正方形, 所以 。 性质 符号语言 图示 对 角 线 定理2：正方形的 对角线相等，并 且互相垂直平 分。 因为四边形 是正方形, 所以, ， 。 对 称 性 轴对称图形。 直线,，, 是正方形 的对称轴。 敲黑板 正方形的其他性质 （1）正方形的每条对角线都平分一组对角。 （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角 形；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角 形。 （3）周长相等的四边形中，正方形的面积最大。#4.1.3.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 _____ 矩形 _____ 菱形 _____ 正方形 _____ 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都 是直角 四个角都 是直角 类型 平行四边形 _____ 矩形 _____ 菱形 _____ 正方形 _____ 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相 等 对角线互 相垂直 对角线相 等且互相 垂直 类型 平行四边形 _____ 矩形 _____ 菱形 _____ 正方形 _____ 对称性 共性 都是中心对称图形 特性 轴对称图形 至少有2条 对称轴 至少有2条 对称轴 4条对称轴 典例2 如图，在正方形中，点 是边上的一 点，点是 的延长线上一点，且 。 （1）求证： ； 解：证明：因为四边形 是正方形， 所以， 。 在和中， 所以 ，所以 。 （2）若，，求 的面积。 解：因为四边形是正方形，所以 。 由（1）知 ， 所以，所以 ， 所以 。 在中， 。 因为，所以 ， 所以的面积为 。 ... ...
