第六章 圆 第22讲 与圆有关的概念及性质 1.(2025·湖北)如图，△ABC内接于☉O，∠BAC＝30°.分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交☉O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是(C) A.30° B.50° C.60° D.75° 2.(2024·泰安)如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，BA平分∠CBD.若∠AOD＝50°，则∠A的度数为(A) A.65° B.55° C.50° D.75° 3.(2024·潍坊改编)如图，☉O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交☉O于点D.分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M.直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论不正确的是(C) A. B.AB＝OE C.∠AOD＝∠BAC D.四边形AOCE为菱形 4.(2025·广州)如图，☉O的直径AB＝4，C为中点，点D在上，，点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是(B) A.2＋ B. C. D. 5.(2025·浙江)如图，矩形ABCD内接于☉O，E是 上一点，连接EB，EC，分别交AD于点F，G.若AF＝1，EG＝FG＝3，则☉O的直径为 2 . 6.(2024·浙江)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC. (1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数. (2)求证：①EF∥BC；②EF＝BD. (1)解：∵∠AFE＝∠ADC，∠AFE＝60°，∴∠ADC＝60°. ∵CD为直径，∴∠DAC＝90°.∴∠ACD＝90°－60°＝30°. ∵，∴∠ABD＝∠ACD＝30°. (2)证明：①∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°. ∵∠AFE＝∠ADC，∴∠AFE＋∠ABC＝180°.∴EF∥BC. ②过点D作EF的平行线交AF于点G，如图. ∵DG∥EF，∴∠F＝∠DGA，△ADG∽△AEF. ∵∠F＝∠ADC，∴∠DGA＝∠ADC. ∵由(1)知∠ABD＝∠ACD，∴△CDA∽△BGD.∴. ∵△ADG∽△AEF，∴. ∵AE＝AC，∴EF＝BD. 7.(2025·眉山)如图，AB为☉O的直径，点C为圆上一点，过点C作☉O的切线，交AB延长线于点D，过点B作BE∥DC，交☉O于点E，连接AE，AC. (1)求证：； (2)若∠BAE＝60°，☉O的半径为2，求AC的长. (1)证明：如图，连接OC，OE，BC，则OC＝OA.∴∠OAC＝∠OCA. ∵CD是☉O的切线，∴OC⊥CD.∴∠BCD＋∠BCO＝90°. ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠OCA＋∠BCO＝90°.∴∠BAC＝∠OCA＝∠BCD. ∵BE∥CD，∴∠CBE＝∠BCD.∴∠BAC＝∠EBC. ∵∠COE＝2∠EBC，∠BOC＝2∠BAC，∴∠COE＝∠BOC.∴. (2)解：如图，延长CO交☉O于点F，连接AF，则CF为☉O的直径.∴∠FAC＝90°. ∵☉O的半径为2，∴OC＝2.∴CF＝2OC＝4. 由(1)，得. ∴∠EAC＝∠BAC＝∠BAE＝30°. ∵OA＝OC， ∴∠ACF＝∠OAC＝30°. ∴AC＝CF·cos∠ACF＝4×. 第23讲 与圆有关的位置关系 1.(2025·福建)如图，PA与☉O相切于点A，PO的延长线交☉O于点C.AB∥PC，且交☉O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(C) A.30° B.45° C.60° D.75° 2.(2025·上海)在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，△ABC的外接圆为☉O，且半径为5，边BC中点为D，如果以D为圆心的圆与☉O相交，那么☉D的半径可以为(B) A.2 B.5 C.8 D.9 3.(2024·泸州)如图，EA，ED是☉O的切线，切点为A，D，点B，C在☉O上.若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(C) A.56° B.60° C.68° D.70° 4.(2024·包头)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB.若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为 105° . 5.(2025·威海)如图，PA是☉O的切线，点A为切点.点B为☉O上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E.AD＝BE，BD＝AF. (1)求证：PB是☉O的切线； (2)若AP＝4，sin C＝，求☉O的半径. (1)证明：如图，连接OB.∵PA是☉O ... ...
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