2026届高三年级1月联考 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 ，，则集合 中的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是 A. B.5 C.10 D. 4.下列说法正确的是 A.过圆 上一点 的切线方程为 B.集合 的充要条件是 C.函数 的最小值是4 D.平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 5.在 中，内角 ，， 所对的边分别是 ，，。若 ，且 ，则 面积的最大值为 A. B. C. D. 6.函数 的部分图象如图所示， 是正三角形，其中 ， 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 ，则 A. B. C. D. 7.已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆 上的一点，点 在 轴上，满足 。若 ，则椭圆 的离心率为 A. B. C. D. 8.已知函数 。若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正项等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，若 ，，则下列说法正确的有 A. B. C. D.当 最小时， 10.已知圆 ，直线 ，，则下列结论正确的有 A.存在 使得圆 关于直线 对称 B.圆心到直线 的距离最小值为 C.当 时，直线 与圆 相切 D.存在 使得圆 上有三个点到直线 的距离为 11.已知 为椭圆 的左焦点，直线 与椭圆 交于 ， 两点， 轴，垂足为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，则下列结论正确的有 A.直线 的斜率为 B. 为直角 C. 面积的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知函数 则 。 13. 在平行六面体 中，，。若 ，，，则 。 14. 已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过点 的直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 ，。若双曲线 在 ， 两点处的切线相交于点 ，直线 轴与双曲线 的右支交于点 ，则 的最小值为 。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知平面内三点 ，，。 （1）若直线 经过点 且与线段 有交点，求直线 的斜率的取值范围； （2）若直线 经过点 ，且与 ， 轴的正半轴分别交于 ， 两点，求 的最小值及此时 的方程。 16.（15分）如图，在三棱锥 中，，， 两两垂直，，。 （1）求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）求二面角 的正切值。 17.（15分）已知一动圆的圆心为 ，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切。 （1）求该动圆圆心 的轨迹方程； （2）设圆心 的轨迹为曲线 。点 在曲线 上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若 的面积是 的面积的两倍。求 的值。 18.（17分）已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）设 ，若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围； （3）当 时，函数 有两个零点 ，，求证：. 19.（17分）我们把形如 的数学对象称作一个 矩阵. 定义矩阵乘法：. 已知矩阵 . （1）若矩阵 ，计算 和 . （2）若矩阵 ，其中 ，，， 都是正整数，且满足 和 ，证明：. （3）现定义：，其中 ， 且 ，利用以上定义. 写出数列 与 间的递推关系式；记 ， 为方程 的两个根， ... ...
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