4.1 因式分解 课件 （19张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(课件网) 4.1 因式分解 第四章 因式分解 八下数学 BSD 1. 经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，了解因式分解的意义. 2. 初步体会因式分解与整式乘法的联系，能用整式乘法对因式分解的结果是否正确进行检验. 3.感受因式分解在解决相关问题中的作用. 问题 993-99能被100整除吗？ 小明是这样做的： 993-99 = 99×992-99×1 = 99×(992-1) = 99×9 800 = 98×99×100. 所以，993-99能被100整除. 在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数乘积的形式. 知识点1 因式分解 思考 你能把a3-a化成几个整式乘积的形式吗？ a3 - a =a(a2-1) =a(a+1)(a-1). 观察下面拼图过程，写出相应的关系式. 知识点1 因式分解 = . ma+mb+mc m(a+b+c) 知识点1 因式分解 x2+2x+1 (x+1)2 = . 观察下列拼图过程，写出相应的关系式. 观察以下等式，它们有什么共同特点？ 知识点1 因式分解 a3 - a = a(a+1)(a-1) ma+mb+mc = m(a+b+c) x2+2x+1 = (x+1)2 多项式 整式乘积 像这样的变形叫作因式分解. 知识点1 因式分解 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解，也可称为分解因式. 其中，每个整式都叫作这个多项式的因式. 注意 (1) 因式分解的对象是多项式，结果是几个整式乘积的形式； (2) 本章仅限于在有理数范围内因式分解； (3) 因式分解是恒等变形. 知识点1 因式分解 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ① x2-y2-1＝(x+y)(x-y)-1； ② x3+x＝x(x2+1)； ③ (x-y)2＝x2-2xy+y2； ④ x2-9y2＝(x+3y)(x-3y). A. 1个 　　　　 B. 2个 　　　　C. 3个 　　　　　 D. 4个 B 知识点2 因式分解与整式乘法的关系 根据左面的算式填空： (1) 3x2-3x=_____； (2) ma+mb+mc=_____； (3) m2-16=_____； (4) y2-6y+9=_____. 计算下列各式： (1) 3x(x-1)= ； (2) m(a+b+c)= ； (3) (m+4)(m-4)= ； (4) (y-3)2= . 3x2 - 3x ma+mb+mc m2 -16 y2-6y+9 3x(x-1) m(a+b+c) (m+4)(m-4) (y-3)2 因式分解与整式乘法的关系： 联系：多项式的因式分解与整式乘法互为逆变形. 区别： 因式分解：(1) 把一个多项式化成几个整式乘积的形式； (2) 是多项式的恒等变形. 整式乘法：(1) 把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式；(2) 是一种乘法运算. 知识点2 因式分解与整式乘法的关系 知识点2 因式分解与整式乘法的关系 跟踪训练 下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是( ) A．x2-y2 B．-x2+y2 C．x2+y2 D．-x2-y2 B 知识点2 因式分解与整式乘法的关系 跟踪训练 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x-2)(x+3)，求a，b的值. 解：∵ x2+ax+b=a(x-2)(x+3) =ax2+ax-6a, ∴ a=1，b=-6a=-6. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可. 1. 连一连： x2-y2 (x+3)2 9-25x2 y(x-y) x2+6x+9 (3+5x)(3-5x) xy-y2 (x+y)(x-y) 2. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解 (1) (a+3)(a-3)=a2-9； (2) m2-4=(m+2)(m-2)； (3) a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1； (4) 2mR+2mr=2m(R+r). 主要依据因式分解的定义，看右边的结果是否为几个整式乘积的形式. 解：(2)(4)是因式分解. 3. 如图所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个直角三角形的斜边)拼接成一个梯形，请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解： 　　　　　　　　　. (a+b)(a+b) (a2+b2)+ab = 4. 若多项式x4+mx3+nx-16含有因式(x-2)和(x-1)，求mn的值. 解：∵ x4+mx3+nx-16的最高次数是4， ∴可设x4+mx3+nx-16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)， 则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b=-16，b- ... ...