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课件网) 方法14———1”的代换 PART ONE 自然数1是人们最早用于计数的单位，数的发展从1开始.对于一些复杂的数学问题，直接解决有困难时，可尝试根据题目特点，对隐藏的“1”进行合理的数学变形，巧妙利用“1”变化多端的表达形式，或构造有关“1”的各类表达形式，突破题目的难点，从而解决问题. 【例1】 （“1”的代换）若tan θ＝－2，则 ＝（ ） 解析： ＝ ＝ sin θ（ sin θ＋ cos θ）＝ ＝ ＝ ＝ . √ 训练1 已知 ＝2，则 cos 2α＋ sin α cos α＝（ ） 解析： 因为 ＝ ＝2，所以tan α＝ ，则 cos 2α＋ sin α cos α＝ ＝ ＝ .故选A. √ 【例2】 （“1”的转换）若a2＋b2＝c2＋d2＝1，且ac＋bd＝0，则ab ＋cd＝ . 解析：设 sin α＝a， cos α＝b， sin β＝c， cos β＝d.因为ac＋bd＝ 0，所以ac＋bd＝ sin α sin β＋ cos α· cos β＝ cos （α－β）＝0.ab＋ cd＝ sin α cos α＋ sin β cos β＝ （ sin 2α＋ sin 2β）＝ sin （α＋ β） cos （α－β），因为 cos （α－β）＝0，所以ab＋cd＝0. 0 训练2 已知2x2－xy＋y2＝1（x，y∈R），则x＋y的最大值为 . 解析：联系已知条件，将“1”灵活转换，得（x＋y）2＝ ＝1 ＋ ∈［0， ］，其中s＝3（ ）－1∈R. 另外，分子、分母同除 的过程中要考虑s＝0和x＝0的情况. 【例3】 （“1”的构造）已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，证明： ＋ ＋ ≥0，并指出等号成立的条件. 证明：若xyz＝0，则不等式显然成立，且等号成立的条件为x＝y＝z＝0. 若xyz≠0，则可将原不等式变形为 ＋ ＋ ≥0， 构造“1”进行代换，得 ＋1＋ ＋1＋ ＋1≥3， 即 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ≥3， 化简得 ＋ ＋ ≥3. 因为x＋y＋z＝0，故xy，yz，xz三个数中有且仅有一个正数，不妨设yz ＞0， 则 ＋ ≥ ＝ ＞ . 又 ＋ －3＝ ≥0， 故原不等式成立，且等号成立的条件为x＝1，y＝z＝－ . 训练3 已知对任意正实数x，y，z，xy＋yz＋xz＝1，确定M的最大 值，使得 ＋ ＋ ≥M. 解：原不等式可变形为 ＋ ＋ ≥M， 因为x，y，z＞0， 可得（ ＋ ＋ ）（x＋yz＋y＋xz＋z＋xy）≥（x＋y＋ z）2， 化简得 ＋ ＋ ≥ ＝ ， 当且仅当 ＝ ＝ 时等号成立，即x＝y＝z＝ . 由（x＋y＋z）2≥3（yz＋xz＋xy）， 有x＋y＋z≥ ， 当且仅当x＝y＝z＝ 时成立. 下面证明函数f（u）＝ （u≥3）单调递增. 事实上，令u＞v≥ ， f（u）＞f（v） ＞ u2v＋u2－uv2－v2＞0 （u－v）（uv＋ u＋v）＞0 u－v＞0， 于是f（u）≥f（ ）＝ . 故 ＋ ＋ ≥ ≥ ， 因此，Mmax＝ .
