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课件网) 方法7 局部处理 PART ONE 整体和局部是同一事物的两个方面.有些数学问题从整体上处理难以解决，就必须先分析研究问题的某一部分，得出初步结论后，再进一步研究，从而使数学问题获得解决.这种分析问题和解决问题的思维方法称为局部处理法. 【例1】 （局部固定法）若a＞0，b＞0，2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的 最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 解析： a＞0，b＞0，3＝2ab＋a＋2b≤（ ）2＋（a＋2b），当 且仅当a＝2b时取等号，因此（a＋2b）2＋4（a＋2b）－12≥0，即（a ＋2b＋6）·（a＋2b－2）≥0，解得a＋2b≥2，所以当a＝2b＝1时，a ＋2b取得最小值2.故选C. √ 训练1 已知函数f（x）＝a（2x－2－x）＋bx＋1，若f（2）＝5，则f （－2）＝ . 解析：令g（x）＝a（2x－2－x）＋bx， x∈R，g（－x）＝a（2－x－ 2x）－bx＝－[a（2x－2－x）＋bx]＝－g（x），所以g（x）为奇函 数，则有g（－2）＝－g（2），因为f（2）＝g（2）＋1＝5，所以g （2）＝4，则g（－2）＝－g（2）＝－4，所以f（－2）＝g（－2）＋1 ＝－3. －3 【例2】 （局部突破法）如图，在三棱台DEF-ABC中，平面ADFC⊥平 面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，CD＝2BC. 证明：EF⊥DB. 证明：作DH⊥AC于点H，连接BH（图略）. 因为平面ADFC⊥平面ABC，而平面ADFC∩平面ABC＝ AC，所以DH⊥平面ABC，从而DH⊥BC. 因为∠ACB＝∠ACD＝45°，所以CD＝ CH＝2BC，则 CH＝ BC. 取三棱锥D-HBC，如图，在△CBH中， BH2＝CH2＋BC2－2CH·BC cos 45°＝BC2，即BH2＋BC2＝CH2，所以BH⊥BC. 由棱台的定义可知，EF∥BC，所以DH⊥EF，BH⊥EF， 又BH∩DH＝H，所以EF⊥平面BHD，而DB 平面BHD，所以EF⊥DB. 训练2 （1）若双曲线x2－ ＝1的两条渐近线与椭圆M： ＋ ＝1（a ＞b＞0）的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭 圆M的离心率为（ ） A. －1 B. －1 C. D. √ 解析： 由题意知，双曲线x2－ ＝1的一条渐近线是y＝ x，记它与 椭圆M在第一象限的交点为A，椭圆M的左、右焦点记为F1，F2，则根据 正六边形的性质知△AF1F2是直角三角形，且∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝ 60°，｜F1F2｜＝2c，所以｜AF1｜＝ c，｜AF2｜＝c.由椭圆的定 义｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，得出c＋ c＝2a，所以椭圆M的离心率e ＝ ＝ ＝ －1.故选B. （2）求证：对于一切x＞0，都有xln x≥ － . 证明：先证明局部问题：xln x≥－ ，记f（x）＝xln x，f'（x）＝ ln x＋1＝0，即x＝ ， 故f（x）在（ 0， ）单调递减，（ ，＋∞）单调递增，则f（x） min＝f（ ）＝－ ，xln x≥－ ， 同理记g（x）＝ － ，则g（x）≤－ ，原不等式即证.
