山东省青岛市城阳第一高级中学2025-2026学年高三上学期2026年1月月考数学试题（含答案）

高三数学月考试题 2026年 1月13 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1．若复数z满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．设全集为，集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 4．若为偶函数，则（ ）． A． B．0 C． D．1 5．记为等比数列的前项和，若，则的公比为（ ） A．2 B． C． D． 6．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A．事件与互斥 B． C． D．两两相互独立 7．把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知正实数满足，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9．如图，六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论正确的是（ ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 11．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线及C围成的，若，则下列说法正确的是（ ） A．开口向上的抛物线的方程为 B．四叶图上两点间距离的最大值为 C．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为 D．四叶图的面积大于4且小于8 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12．设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则 ． 13．已知，则 . 14．设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望= . 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） （13）某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. (1)求； (2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； (3)若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16（15）．已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 17．如图，在四棱锥中，为的中点，平面，，，． (1)若平面平面，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18（17）．已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； (3)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 19．（17）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在定义域内有两个不同 ... ...