中小学教育资源及组卷应用平台 同步探究学案 课题 数学活动 个位数字是5的两位数平方的规律与利用因式分解生成密码 单元 第十七章 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1．经历观察、归纳、证明个位为5的两位数平方规律的过程，掌握其一般结论并能灵活应用，提升逻辑推理与代数运算能力． 2．能运用因式分解解决密码生成问题，体会因式分解的实际应用价值，增强数学应用意识与创新思维． 重点 探索并证明个位为5的两位数平方的规律，能运用因式分解进行密码的生成与破解． 难点 从具体运算实例中提炼出一般数学规律并完成严谨的代数证明，理解因式分解在密码生成中的逻辑关联． 探究过程 导入新课 【引入思考】 问题：这些个位为5的两位数平方结果有什么共同特点？你能快速算出452的结果吗？ 152=225， 252=625， 352=1225， 新知探究 本节课来研究： 本节我们探究个位数字是5的两位数平方的规律，并且借助因式解解研究密码的生成。 活动1：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： 15×15=225=1×2×100+25, 25×25=625=2×3×100+25, 35×35=1225=3×4×100+25, …… 问题1：你能写出一般的规律吗？ 归纳：个位为5的两位数平方的规律 设两位数为10n+5（n为十位上的数字，即1~9的整数） 则：(10n+5)2=_____ 问题2：你能用所学知识证明你的结论吗？ 活动2：利用因式分解生成密码 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取=15，=12，则有=12，=17，=13，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码． （1）已知多项式，当取=10，=5时，用上述方法生成的密码是什么？ （2）已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ （3）自己写一个多项式，并用上述方法生成密码． 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式 ，将其分解因式为．若取，， 则有，，，其中 12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是（ ） A．111525 B．151025 C．101525 D．1215 2．“天算星座”是一个开放开源的空天计算在轨试验平台，重点围绕空天计算、6G网络等多个前沿领域展开创新研究，其星地数据传输依赖高强度密码体系保障安全，因式分解是生成这类密码的基础依据之一．因式分解密码生成的原理是将多项式因式分解后，取对应字母的特定数值，将各因式的计算结果按顺序求解，即可得到密码．例如：多项式，将其因式分解为，若取，，则有，，将其按从小到大的顺序排列就形成密码071217．若“天算星座”另一数据节点密码的生成用到了多项式，将其因式分解后，当时，密码为7279，则 ． 3．请根据个位为5的两位数平方的规律计算852和952的值． 选做题： 4．现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．喜欢数学的小明的生日是11月2日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．如：对于多项式，因式分解的结果可以是，若，，则，，，于是可将“031165”作为密码．若小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则下列说法正确的有（ ）个 ①按 ... ...
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