中小学教育资源及组卷应用平台 2026年中考数学一轮复习精讲精练 模块六 圆 专题2 垂径定理及其应用 【考点一】垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 如图2-1所示，垂径定理的条件与结论理解如下： ∵AB 是直径,AB⊥CD于点 E, 【要点提示】 (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论； (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 【考点二】垂径定理推论 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论. 即如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． （注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【考点三】常见辅助线做法： 1.过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2.有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明. 重要公式：设半径为r，，=d，根据勾股定理： 【题型一】垂径定理和推论的理解 ◇典例1： 下列判断正确的是（ ） A．弦心距相等则弦也相等 B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分 C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等 D．弦的垂直平分线必定经过圆心 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关性质，熟练掌握垂径定理及其推论是解题的关键． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平方弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直于平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 解：A、在同圆或等圆中，弦心距相等则弦也相等，故该选项错误； B、一个圆的两条直径，虽不垂直，但一条一定平分另一条，故该选项错误； C、必须在同圆或等圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等，故该选项错误； D、根据垂径定理得到，故该选项正确． 故选：D． ◆变式训练 1.如图，是的弦，根据下列条件填空： （1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ； （2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ； （3）如果，且，那么有 ， ， ． 【答案】 是的直径 【分析】（）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可； （）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可； （）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可． 解：（）∵是的直径，且于点， ∴，，； （）∵是的直径，且， ∴，，； （）∵，且， ∴是的直径，，． 2.下列说法正确的是（ ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧 D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦 【答案】D 【分析】本题考查对垂径定理的理解，解题的关键在于正确理解垂径定理及其推论的“知二推三”．根据相关定理逐项判断，即可解题． 解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； B、弦的垂 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
