专题四 数列 考点一 等差数列的基本运算 1.（2023·全国甲卷5题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝（ ） A.25 B.22 C.20 D.15 解析：C 法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由得∴d＝＝＝1，a3＝a4－d＝5－1＝4，∴S5＝5a3＝5×4＝20.故选C. 法二 设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5 ①，由a4a8＝45，可得（a1＋3d）（a1＋7d）＝45 ②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C. 2.（2022·新高考Ⅱ卷3题）图①是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图②是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（ ） A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 解析：D 法一 如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1.因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1·（k3－0.2），BB1＝CB1（k3－0.1），AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1（k3－0.2），BB1＝OD1（k3－0.1），AA1＝k3OD1.又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1（k3－0.2）＋OD1（k3－0.1）＋k3OD1＝OD1（3k3＋0.2），所以tan∠AOA2＝＝＝0.725，解得k3＝0.9，故选D. 法二 设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且＝0.725，即＝0.725，解得k3＝0.9.故选D. 3.（2021·新高考Ⅱ卷17题）记Sn是公差不为0的等差数列的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. （1）求数列{an}的通项公式an； （2）求使Sn＞an成立的n的最小值. 解：（1）设公差为d. ∵S5＝5a3＝a3 a3＝0，∴S4＝2（a2＋a3）＝2a2. ∴a2a4＝S4 a2a4＝2a2. 由公差d≠0及a3＝0知a2≠0，∴a4＝2，d＝2，则an＝a3＋2（n－3）＝2n－6. （2）Sn＝＝＝n2－5n， 由Sn＞an n2－5n＞2n－6 （n－1）（n－6）＞0 n＜1或n＞6. ∵n∈N*，∴n的最小值为7. 考点二 与等差数列有关的判断（证明） 4.（2023·新高考Ⅰ卷7题）设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列.则（ ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：C 若{an}是等差数列，设首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋d，所以＝a1＋d＝n＋a1－，所以－＝（n＋1）＋a1－－（n＋a1－）＝，所以是等差数列.若是等差数列，设＝kn＋b，k，b∈R，则Sn＝kn2＋bn.当n＝1时，a1＝S1＝k＋b；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝kn2＋bn－[k（n－1）2＋b（n－1）]＝2kn－k＋b，所以an－an－1＝2kn－k＋b－2k（n－1）＋k－b＝2k.所以{an}是等差数列.所以甲是乙的充要条件.故选C. 5.（2021·全国甲卷18题）已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 解：①③ ②. 已知{an}是等差数列，a2＝3a1. 设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1. 因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n， 所以－＝（n＋1）－n＝（常数），所以数列{}是等差数列. ①② ③. 已知{an}是等差数列，{}是等差数列. 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n2d＋n. 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1. ②③ ①. 已知数列{}是等 ... ...
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