与三角函数相关的新情境问题 解三角形应用题的常考类型 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 例 (1) （2023·四川绵阳·统考模拟预测）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ） A．0.62 B．0.56 C． D． 【答案】A 【分析】由图形可知，由余弦定理求出，可得. 【详解】由题意，，所以， 切线，，由切线长定理，不妨取， 又，由余弦定理， 有， . 故选：A （2）滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃的诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12 m，在它们的地面上的点M(B，M，D三点共线)测得楼顶A、滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得滕王阁顶部C的仰角为30°，则小明估算滕王阁的高度为(精确到1 m)( ) A．42 m B．45 m C．51 m D．57 m 答案 D 解析 由题意得，在Rt△ABM中， AM＝， 在△ACM中，∠CAM＝30°＋15°＝45°， ∠AMC＝180°－15°－60°＝105°， 所以∠ACM＝30°， 由正弦定理得＝， 所以CM＝·AM＝， 又sin 15°＝sin(45°－30°) ＝×－×＝， 在Rt△CDM中，CD＝CMsin 60°＝＝＝36＋12≈57(m)． (3) （2023·山西临汾·统考二模）如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们需要研究两个平面之间所成的角，即二面角.已知二面角的棱上有两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，记二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C． D．点到平面的距离的最大值为 【答案】AB 【分析】运用线面垂直判断定理及线面垂直的性质及向量加法及数量积运算可判断A项、B项，运用余弦定理及余弦函数的单调性可判断C项，建立空间直角坐标系运用点到面的距离公式计算及三角函数的最值问题求解即可判断D项. 【详解】如图所示， 过A作且，连接CE、ED，则四边形ABDE为平行四边形， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，面， ∴面， 又∵， ∴面， ∴，， 由题意知，，， 所以，， ∵， ∴， 对于A项，当时，代入得：， 又因为， 所以，故A项正确； 对于B项，当时，代入得：，故B项正确； 对于C项，在△CAE中，， 在△CAD中，， ∵，， ∴①当时，，则， ②当时，，则， ③当时，，则，故C项不成立； 对于D项，以A为原点，分别以AE、AB、AZ为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设面BCD的一个法向量为， 则，取， 所以点A到面BCD的距离为， 又因为， 所以， 所以当时，d取得最大值为，故D项错误； 故选：AB. 规律方法 解三角形实际问题的步骤 跟踪演练 (1) （2023·吉林·统考二模）近日，吉林市丰满区东山顶上新建了一处打卡地朱雀云顶观景塔，引来广大市民参观,某同学在与塔底水平的A处利用无人机在距离地面21的C处观测塔顶的俯角为，在无人机正下方距离地面1的B处观测塔顶仰角为，则该塔的高度为（ ） A．15 B．1 ... ...
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