4.3　等腰三角形与直角三角形（原卷+答案） 2026年中考数学一轮专题复习

4.3　等腰三角形与直角三角形 考点一　等腰三角形的性质及判定　▼ 1.等腰三角形的性质及判定 等腰三角形 性 质 (1)底角相等， 即∠B　 ＝　∠C； (2)顶角平分线、底边上的中线、底边上的　 高　相互重合，简称“三线合一”； (3)是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线，底边上的高)所在直线就是它的对称轴 判 定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形； (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边” 面 积 S＝ah(h是底边a上的高) 【温馨提示】(1)确定顶角和底角.当已知等腰三角形的一个角时，要先确定该角是顶角还是底角，分情况进行讨论，此时要注意等腰三角形的底角一定是锐角，直角和钝角只能出现在顶角上. (2)当已知等腰三角形两边时，除了确定哪条边作为腰或底外，一定不要忽视三角形三边关系，底边长一定小于腰长的2倍，否则不能构成三角形. 2.等腰三角形辅助线的常见作法： (1)等腰三角形作底边上的高线　作腰上的高线　倍长一腰，构造直角三角形 　　　　 (2)内角存在二倍关系作等边或等角，构造等腰三角形(条件：∠C是∠B的二倍) 　 [练对点一] 1.如图，直线a∥b，直线c分别交直线a，b于点A，B，点C是直线a上一点，且CA＝CB.若∠ACB＝70°，则∠1的度数等于　 (　B　) A.50° B.55° C.60° D.65° 考点二　等边三角形的性质及判定　▼ 3.等边三角形的性质及判定 等边三角形 性质 (1)三边相等，即AB　 ＝　AC　 ＝　BC； (2)三个角相等，均为60°，即∠A＝∠B＝∠C＝　 60°　； (3)是轴对称图形，有　 3　条对称轴 等边三角形 判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是　 60°　的等腰三角形是等边三角形 面积 S＝ah＝a2(h是任一边a上的高) 【温馨提示】一般情况下，在同一三角形中“要证边相等，先证角相等”“欲证角相等，先证边相等”. [练对点二] 2.如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°.若CD的长度为50 cm，则此时B，D两点之间的距离为 (　B　) A.25 cm B.50 cm C.55 cm D.100 cm 考点三　直角三角形的性质及判定　▼ 4.直角三角形的性质及判定 直角三角形 性质 (1)两锐角互余，即∠A＋∠B＝　 90°　； (2)斜边上的中线等于斜边的　 一半　，即CD＝　 　AB； (3)30°角所对的直角边等于　 斜边　的一半，在Rt△ABC中，若∠A＝30°，则　 a　＝　 c　； (4)若有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于　 30°　； (5)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和　 等于　斜边的平方，即a2＋b2　 ＝　c2 判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形； (2)有两个角互余的三角形是直角三角形； (3)勾股定理逆定理：若在△ABC中，a2＋b2＝c2 ∠ACB＝90°； (4)一条边上的中线h等于这条边的一半的三角形是直角三角形(需证明) 面积 S＝ch＝ab(a，b为两条直角边，h是斜边c上的高) 等腰直角 三角形 性质 (1)两直角边相等，即AC＝　 BC　； (2)两锐角相等且等于45°，即∠A　 ＝　∠B＝45° 判定 (1)顶角为90°的等腰三角形； (2)有两个角为45°的三角形； (3)有一个角为45°的直角三角形； (4)两直角边相等的直角三角形 面积 a2＝c2＝ch＝ah(a为直角边，h是斜边c上的高) 5.直角三角形相关模型 (1)若直角三角形的三边分别记为a，b，c，分别以三条边为边或直径向外作等边三角形、正方形、半圆，则有S1＋S2＝S3； (2)赵爽弦图：如图1，若直角三角形的三边分别记为a，b，c，则S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形； 图1图2 (3)毕达哥拉斯拼图：如图2，若直角三角形的三边分别记为a，b，c，则S左图大正方形＝S右图大正方形. 6.与直角三角形有关的辅助线作法： (1)直角三角形作斜边上的高 ... ...