6.2 与圆有关的位置关系 考点一 与圆有关的位置关系 ▼ 1.点与圆的位置关系 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系如表所示： 位置关系 图形 d与r的大小关系 点A在圆内 d r 点B在圆上 d r 点C在圆外 d r 2.直线与圆的位置关系 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系决定于d和r的大小关系： 位置关系 示意图 d与r的关系 交点的个数 相离 d＞r 0 相切 d＝r 相交 2 3.与圆相关的线段最值问题常作辅助线 (1)圆外一定点到圆上一动点的最值连接定点与圆心 条件：定点P，动点A 结论：PA2＝OP－OA2＝OP－r(最小值) PA1＝OP＋OA1＝OP＋r(最大值) (2)圆上一动点到定直线距离过圆心作垂线 条件：动点A，P 结论：PA2＝OP－OA2＝OP－r(最小值) PA1＝OP＋OA1＝OP＋r(最大值) [练对点一] 1.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，以B为圆心，BC长为半径画圆，则点A和☉B的位置关系，下列说法正确的是 ( ) A.点A在☉B外 B.点A在☉B上 C.点A在☉B内 D.无法确定 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高，AB＝4，若☉D是以点D为圆心，1.4为半径的圆，那么☉D与直线AC的关系是 ( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 考点二 切线的性质与判定 ▼ 4.定义：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点. 5.性质与判定 (1)性质定理：圆的切线 于过切点的半径. (2)推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必过 ； ②经过切点且垂直于切线的直线必过 . (3)切线的判定：①和圆有 公共点的直线是圆的切线； ②如果圆心到一条直线的距离等于圆的 ，那么这条直线是圆的切线； ③经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线(最常用的判定方法). 6.切线长 如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与☉O相切，点P和 之间线段的长，叫作这点到圆的切线长. 7.切线长定理 从圆外一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如上图，PA，PB切☉O于A，B两点，则PA PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB. 【方法归纳】 1.切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂线，证半径”.这两种情况可概括为一句话：“有交点，连半径；无交点，作垂线”. 2.求线段长度，通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾股定理求解，有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求解. 3.与圆有关的位置关系中常见的五种辅助线： (1)见切线，连半径，得垂直； (2)有公共点，连半径，证垂直，得切线； (3)无公共点，作垂线段，证d＝r，得切线； (4)见内心，连内心与顶点，得角平分线； (5)见外心，连外心与顶点，得相等线段. [练对点二] 3.(2025·陇南模拟)如图，PA，PB是☉O的切线，AB为切点，点C在☉O上，且∠APO＝25°，则∠ACB等于 ( ) A.45° B.50° C.65° D.70° 4.如图，直线AB与☉O的相切于点C，AO交☉O于点D，连接CD，OC.若∠ACD＝20°，则∠COD的度数是 ( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 5.(2025·定西模拟)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF. (1)求证：AB是☉O的切线； (2)若CF＝4，DF＝，求☉O的半径r及sin B. 考点三 三角形的外接圆与内切圆 ▼ 8.三角形的外接圆与内切圆 名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 圆心名称 三角形的外心 三角形的内心 图形 描述 经过三角形三个顶点的圆，外心是三角形 的交点 与三角形各 ... ...
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