28.2.1解直角三角形课后培优提升（含答案）人教版2025—2026学年九年级下册数学

28.2.1解直角三角形课后培优提升人教版2025—2026学年九年级下册 一、选择题 1．如图，在中，，，，则的长为（ ） A． B． C．3 D． 2．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值．如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，，所以类比这种方法，计算的值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ） A． B．3 C． D． 4．如图在中，，在上取一点，连接，延长至点，使，连接．记，，．则以下式子一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5．在中，，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．在中，，则下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则梯子的高度为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，点D在的延长线上，和的平分线交于点E，连接，则的值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是 ． 10．如图，在等腰三角形纸片中，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．若已知，则 ． 11．如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么 ． 12．在中，（是锐角），，那么的长为 ． 三、解答题 13．如图，在中，点D、E分别是、的中点，连接，过点A作于点F，延长至点G，使得，连接，过点C作交的延长线于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 14．如图，在中，于，，，． (1)求的长． (2)求的值． 15．如图，在四边形中，，．以为直径的经过点，且与边交于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 16．如图1，在四边形中，．点在线段的延长线上，且，连接交于点、交于点． (1)求证： (2)设，求的值． (3)如图2，若（），求的长（用含的代数式表示） 17．如图，在菱形中，点G是上一动点，连接并延长分别交和的延长线于点E和点F． (1)证明：； (2)证明：； (3)若，，，求的值． 18．已知内接于，，过点作的平行线交于点． (1)如图1，连接交于点． ①求证：． ②若，求的值． (2)如图2，若，，求的半径． 参考答案 一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C 二、填空题 9． 10． 11． 12．4 三、解答题 13．【解】（1）证明：，， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ，， ∵， ， 在和中， ，，， ， ， 四边形为矩形； （2）解：是的中位线， ， ，， 在中，， ， 四边形为矩形， ． 14．【解】（1）解：在中，，． ， 解得． 在中，， ． 由勾股定理得，． （2）解：作于点， ， ， ， 解得． ． 15．【解】（1）证明：， ， 又， ， 为的直径， ， ， ，即， ， 为的切线； （2）解：如图，作于点， ，， ． ∴在中，由勾股定理得，， ． ，， ， ， ∵ ． ， ， 设，则，， ，， ． 又， ， ，即． ， 解得， ． 16．【解】（1）证明：， 在与中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （2）， ∴， ． 由（1）知，， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ． （3）方法1：如图2 ∵， ∴， ， 又，， ∴， ， 即， （舍）， ； 方法2：， ∴， ， 又， ， 为黄金分割点， ， ， 故． 17．【解】（1）证明：∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵菱形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：∵菱形，， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 18．【解】（1）①证明：， ， ， ， ； ②解：作于点， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ； （2）解：连接交于点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，连接， 由（1）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 设，则， ... ...