28.1锐角三角函数课后培优提升（含答案）人教版2025—2026学年九年级下册数学

28.1锐角三角函数课后培优提升人教版2025—2026学年九年级下册 一、选择题 1．在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ） B． C． D． 3．如图，已知，则点A的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 4．计算的值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上．过点，且与交于点，是上的一点，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，垂足为点，，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，点H、G均在正方形的内部，连接，延长交于点E，连接，已知，，，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 二、填空题 9．在锐角三角形中，若满足，则 ． 10．如图，矩形中，点G、E分别在边，上，连接，将和分别沿折叠，使点B、C恰好落在上的同一个点，记为点F，若，，则 11．如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是，小正方形的面积为，则 12．如图，点在线段上，且，分别以，为边在线段的同侧作正方形，，连接，，那么的值是 ． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 14．如图，在中，对角线，相交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点在边上，满足，连接．若，，求的长及的值． 15．如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 16．如图，在矩形中，，E是边的中点，连接，过点作交于点，连接． (1)求证：． (2)求的正弦值． 17．如图，在中，，O为上一点，与相切于点E，连接，经过点A、E的分别交、于点D、F． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 18．如图，在中，是锐角，，垂足为E，对角线垂直平分线交于点M，交的延长线于点N，交于点P．已知． (1)在中， ①写出与一定相似的三角形，并选一对说明理由； ②写出与不一定相似的三角形，如果它与相似，求出它们的相似比． (2)如果，求的正弦值． 参考答案 一、选择题 1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．A 7．A 8．A 二、填空题 9． 10． 11． 12． 三、解答题 13．【解】（1）解： （2）解： 14．【解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 即的值为． 15．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 是的高， ． ． ． ， 即， 解得． ， ． 解得． （2）解：由（1）可得，，， ． ，， ． ，， ． ． ． ． 16．【解】（1）解：在矩形中， ， ； （2）解：， 而是边的中点， ， ∴， ， ∴ 由勾股定理得， ∴． 17．【解】（1）证明：连接， 与相切于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 设，则， ， 解得， ， ， 解得． 18．【解】（1）解：①，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②与不一定相似，当时， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴与不一定相似，如果它与相似，相似比为或； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 解得， 当时，，不合题意， 当时，， ． ... ...