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课件网) 5.2.3 简单复合函数的导数 1.了解复合函数的概念（数学抽象）. 2.掌握复合函数的求导法则，能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数（数学运算、数学建模）. 课标要求 法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”.我们学习了较简单的基本初等函数，还可以把两个或几个函数进行“复合”，怎样复合呢？那么，对于复合后的函数如何求导呢？我们是否也有简单的方法？ 情境导入 知识点一 复合函数的概念 01 知识点二 复合函数的导数 02 知识点三 复合函数求导的应用 03 课时作业 04 目录 知识点一 复合函数的概念 01 PART 问题1 我们常说y＝ cos x为“余弦函数”，而y＝ cos 2x为“余弦型函 数”，那么y＝ cos 2x是由哪些初等函数构成的？ 提示：记u＝2x，则y＝ cos 2x可以看作余弦函数y＝ cos u和u＝2x两个 初等函数以一种“嵌套”的方式组成. 【知识梳理】 一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x） 的复合函数，记作y＝ . 提醒：复合函数中，把函数y＝f（u）称为外层函数，把u＝g（x） 称为内层函数，内层函数和外层函数通常为基本初等函数. f（g（x）） 【例1】 〔多选〕下列哪些函数是复合函数（ ） A. y＝xln x B. y＝（3x＋6）2 C. y＝e sin x D. y＝ sin 解析：A不是复合函数；B、C、D都是复合函数. BCD 【规律方法】 若f（x）与g（x）均为基本初等函数，则函数y＝f（g（x））或函数y ＝g（f（x））均为复合函数，而f（x），g（x）不是复合函数. 训练1 判断下列哪些函数是复合函数，并说明是如何复合的： （1）y＝log2（2x＋1）；（2）y＝2x2－ ； （3）y＝2ln x；（4）y＝ cos （3x－ ）. 解：（1）y＝log2（2x＋1）是复合函数，可以看作是由y＝log2u和u＝ 2x＋1复合而成的函数. （2）y＝2x2－ 不是复合函数. （3）y＝2ln x是复合函数，可以看作是由y＝2u和u＝ln x复合而成的函数. （4）y＝ cos （3x－ ）是复合函数，可以看作是由y＝ cos u和u＝3x－ 复合而成的函数. 知识点二 复合函数的导数 02 PART 问题2 （1）我们知道y＝ sin 2x＝2 sin x cos x，利用导数的运算法则求y ＝ sin 2x的导数，求导结果是什么（以y'x表示y对x的导数）？ 提示：y＝ sin 2x＝2 sin x cos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y'x＝2 cos 2x－2 sin 2x＝2 cos 2x. （2）如果令y＝ sin u，u＝2x，则y＝ sin u和u＝2x导数分别是什么（以 y'u表示y对u的导数，u'x表示u对x的导数）？ 提示：y'u＝ cos u，u'x＝2. （3）比较（1）、（2）的运算结果，你能得到什么结论？ 提示：从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝ sin u，它的导数y'u＝ cos u，内层函数是u＝2x，它的导数是u'x＝2，发现y'x＝y'u·u'x. 【知识梳理】 一般地，对于由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g （x）），它的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x ＝ .即y对x的导数等于 的导数与 的导数 的乘积. 提醒：（1）中间变量的选择应是基本初等函数的结构；（2）求导由 外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；（3）求每层函数 的导数时，注意分清是对哪个变量求导. y'u·u'x y对u u对x 【例2】 （链接教材P79例6）求下列函数的导数： （1）y＝ ；（2）y＝ cos （x2）； 解：（1）令u＝1－3x，则y＝ ＝u－4， 所以y'u＝－4u－5，u'x＝－3. 所以y'x＝y'u·u'x＝12u－5＝ . （2）令u＝x2，则y＝ cos u， 所以y'x＝y'u·u'x＝－ sin u·2x＝－2x sin （x2）. 解： （3）设y ... ...
