第二课时 导数的几何意义 课标要求 情境导入 1.通过函数图象直观理解导数的几何意义（直观想象）. 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程（数学运算）. 3.了解导函数的概念（数学抽象）. 从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同. 如果设曲线的方程为y＝f（x），A（x0，f（x0）），那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？ 知识点一｜导数的几何意义 问题1 观察函数y＝f（x）的图象，平均变化率＝表示什么？瞬时变化率f'（x0）＝＝表示什么？ 提示：容易发现，平均变化率＝表示的是割线P0P的斜率.如图，当点P沿着曲线无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f（x）在点P0处的切线.容易知道，割线P0P的斜率k＝.记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f（x）无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f（x）在x＝x0处的导数.因此，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f'（x0）. 【知识梳理】 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的 切线的斜率 .也就是说，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是 f'（x0） .相应地，切线方程为 y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0） . 【例1】 已知函数y＝f（x）＝x3. （1）求曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线方程； 解：因为f'（x）＝ ＝ ＝＝3x2， 所以曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线的斜率为k＝f'（－1）＝3， 所以切线方程为y＋1＝3（x＋1），即3x－y＋2＝0. （2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程. 解：（设切点坐标为（x0，）， 则切线的斜率为k＝f'（x0）＝3， 所以切线方程为y－＝3（x－x0）. 将点E（2，0）的坐标代入切线方程， 得－＝3（2－x0）， 则2（x0－3）＝0，解得x0＝0或x0＝3， 所以切线方程为y＝0或27x－y－54＝0. 【规律方法】 求过点P（x0，f（x0））的曲线y＝f（x）的切线方程的策略 （1）当点P（x0，f（x0））是切点时，切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）； （2）当点P（x0，f（x0））不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P'（x1，f（x1））； 第二步：写出过点P'（x1，f（x1））的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）； 第三步：将点P的坐标（x0，f（x0））代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f（x1）＝f'（x1）·（x－x1）可得过点P（x0，f（x0））的切线方程. 训练1 求曲线y＝在点处的切线方程. 解：曲线在点处的切线的斜率为 k＝＝＝－， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y－＝－（x－2），即x＋4y－4＝0. 知识点二｜利用导数的几何意义判断函数的变化 问题2 如图是函数y＝h（t）的部分图象，试分析一下导数与函数单调性的关系. 提示：当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h'（t0）＝0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减. 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减. 通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢. 同理，t＝t3，t＝t4时都有h'（t）＞0，h（t）在各自附近单调递增，且函数在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快. 【知识梳理】 1.若f'（x0） ... ...
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