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课件网) 2.4.1 圆的标准方程 1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（数学抽象、直观想象）. 2. 会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 情境导入 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月 亮，在文学作品中也大量描写月亮，如果把天空看作一个平面，月亮当作 一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 知识点一 圆的标准方程 01 知识点二 点与圆的位置关系 02 提能点 求圆的标准方程 03 课时作业 04 目录 01 PART 知识点一 圆的标准方程 问题1 （1）回忆一下，圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各 要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心， 定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半 径确定圆的大小. （2）已知圆心为A（a，b），半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示：设圆上任一点M（x，y），则｜MA｜＝r，由两点间的距离公 式，得 ＝r，两边平方，得（x－a）2＋（y－ b）2＝r2. 【知识梳理】 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 提醒：（1）当圆心在原点O（0，0），半径长r＝1时，圆的方程为 x2＋y2＝1，称为单位圆；（2）相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐 标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的；（3）圆上的点的坐标 都满足圆的方程，满足圆的方程的点都在圆上. 【例1】（1）〔多选〕下列关于圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3 的叙述正确的是（ AD ） A. 圆心坐标为（1，－2），半径r＝ B. 圆心坐标为（－1，2），半径r＝3 C. 圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝3 D. 圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝ 解析：由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3可知，圆心C（1，－ 2），半径r＝ ，故选A、D. AD （2）以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程 是 . 解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心， ｜AB｜＝ ＝5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋ （y－2）2＝25. （x－1）2＋（y－2）2＝25 【规律方法】 直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点 间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两 条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心”等. 训练1 （2025·清远月考）分别求下列圆的标准方程： （1）圆心为C（4，0），且过点（5，2）； 解：圆心为C（4，0），且过点（5，2）， ∴半径r＝ ＝ ， ∴圆的标准方程为（x－4）2＋y2＝5. （2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）. 解：设圆心为C（0，b）， ∴r＝ ＝5， ∴（4＋b）2＝16＝42， ∴4＋b＝4或4＋b＝－4，∴b＝0或b＝－8， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25. 02 PART 知识点二 点与圆的位置关系 问题2 平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判断？ 提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆 的半径相比较判断位置. 【知识梳理】 点M （x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断 方法 位置关系 用距离判断 用方程、不等式判断 M在圆上 ｜CM｜ r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2 M在圆外 ｜CM｜＞r （x0－a）2＋（y0－b）2 r2 M在圆内 ｜CM｜ r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2 ＝ ＞ ＜ 【例2】（1）〔多选〕下列点在圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的内部的是 （ CD ） A. （－1，0） B. （0，－1） C. （－1，1） D. （－1，3） 解析：将点的坐标分别代入只有选项C、D满足 ... ...
