(
课件网) 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 图解课标要点 新知课丨必备知识解读 知识点1 平面向量基本定理 1 平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ， 有且只有一对实数,，使 . 若,不共线，我们把{, }（零向量不能构成基底,因为零向量与任一向量平 行.）叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（基底不唯一,构成基底的向量叫做 基向量）. . . . . . . . . 2 定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底｛， 的条件下进行分 解———平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是 平面向量基本定理的实质． 3 定理的功能 由平面向量基本定理可知，若,不共线，则由， 的所有线性组合构成的 集合，}就是平面内的全体向量，其中{, 叫做表示这一平 面内所有向量的一个基底.这个定理体现了转化与化归的数学思想方法，在用向量解 决几何问题时，我们可以适当地选择基底，将问题涉及的向量用基底线性表示，这 是解决向量问题的基本途径.#1 知识剖析 对平面向量基本定理的理解 （1）平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即存在实数, , 使.二是唯一性，即对任一向量，存在唯一一对实数， ，使 . （2）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量,都可以构成基向量.同 一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. （3）任一向量都可以由同一个基底唯一表示，即基底给定时，分解形式唯一. ,是被,, 唯一确定的数值. （4）若｛,是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当与 共线时， ;当与共线时，;当时， .#1.1.1.4 . . . . . . 4 平面向量基本定理的拓展 由平面向量基本定理，我们得到：个不共线的向量，， ，与 个实数 ，， ，所组成的向量 叫做向量的线性组合，当向 量是向量，， ，的线性组合，即 时，我们称 向量可以分解成向量，， ，的线性组合，其中{，， ， 是关于 向量 的一个基底. 学思用·典例详解 例1-1 ［多选题］下列说法中正确的是( ) BCD A.一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B.一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底 C.零向量不可作为基底中的向量 D.对于平面内的任一向量和一组基底，，使成立的实数对 一定是唯一的 【解析】一个平面内任何一对（无数多对）不共线的向量都可作为表示该平面所有 向量的基底，故A错误，B正确； 因为零向量与任何向量都是共线向量，所以零向量不可作为基底中的向量，故C正确； 由平面向量基本定理中的唯一性可知D正确． 例1-2 (2025·广东省广雅中学月考)若， 是平面内的一组基底，则下列四组向量 能作为平面向量的基底的是( ) C A.， B.， C.， D.， 点拨 一组向量能否构成平面内的一个基底，关键是看这组向量是否共线. 【解析】对于选项A，，故与 共线，所以不能作 为基底； 对于选项B，，故与 共线，所以不能作为基 底； 对于选项C，若与共线，则 ，即 ，可得故不存在 使，故 与 不共线，所以能作为基底； 对于选项D，，故与 共线，所以不能 作为基底. 知识点2 平面向量的正交分解及坐标表示 1 正交分解 图6.3.1-1 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向 量作正交分解.（正交分解中的两个基向量互相垂直，构 成正交基底） 给定平面内两个不共线的向量, ,由平面向量基本 定理可知，平面上的任意向量 ，均可分解为两个向量 和，使.当与垂直时， 就分解成为两个互相垂直的向 量，叫做把正交分解.如图6.3.1-1，重力 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解. . . . . 2 向量的 ... ...
