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课件网) 三角形全等的判定———HL 年 级：八年级 学 科：数学（沪科版） 问题 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？ 分析：已知一组相等的直角，还需添加什么条件，才能判定全等呢？ （1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？ 测量任意一组对应角以及 未被遮挡的任意一组对应边长度. ASA、AAS （2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？ 测量未被遮挡的直角边以及斜边 如果两个直角三角形的一条直角边和斜边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 操作 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？ A B C 现象：两个三角形放在一起能完全重合． 说明：这两个三角形全等． 条件：∠C=∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB “HL”判定方法: 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （简写为“斜边、直角边”或“HL”）． N M C′ A B C A′ B′ 用符号语言表达: 在Rt△ABC 与 Rt△ A′B′C′中， ∴ Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′ （HL）． AB =A′B′， BC =B′C′， ∵ N M C′ A B C A′ B′ 例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：BC =AD． A B C D 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD ， ∴ ∠C =∠D =90°. 在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB =BA， AC =BD， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）. ∴ BC =AD（全等三角形对应边相等）． 变式. 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC ≌△BAD， 需要添加一个什么条件？请说明理由． A B C D （1）AD = BC 理由：HL （2）AC = BD 理由：HL （3）∠DBA = ∠CAB 理由：AAS （4）∠DAB = ∠CBA 理由：AAS 例2 如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发， 以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB． D，E 与路段AB的距离相等吗？ 为什么？ A B C D E 分析：CA=CB CD=CE ∠A=∠B=90° ？ ？ 解：D,E与线段AB的距离相等. 理由：∵C是路段AB的中点， ∴AC=BC. ∵DA⊥AB ， EB⊥AB ， ∴∠A=∠B=90°. CD=CE， AC=CB， 在Rt△ADC 和Rt△BEC 中， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△BEC (HL). ∴ AD =BE. ∴ D,E与线段AB的距离相等. 例 3如图，已知AB=AC，AE=AF， AE⊥EC，AF⊥BF， 垂足分别是点E、F.求证：∠1=∠2. A B C E F 1 2 分析： Rt△AEC ≌ Rt△AFB（HL） ∠EAC=∠BAF ∠1=∠2 证明：∵ AE⊥EC，AF⊥BF ， ∴ ∠E=∠F=90°. 在Rt△AEC 和 Rt△AFB 中， AC =AB， AE =AF， ∴ Rt△AEC ≌ Rt△AFB（HL）. ∴ ∠EAC=∠FAB（全等三角形对应角相等）. ∴ ∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC. ∴∠1=∠2. A B C E F 1 2 变式. 在上题的基础上，设EC与AB交于点M，BF与AC交于 点N，那么EM和FN相等吗？请说明理由. M N ？ ？ 解：EM=FN. 理由：在Rt△AEM 与Rt△AFN中， ∴Rt△AEM ≌Rt△AFN（ASA）. ∴ EM=FN(全等三角形的对应边相等). ∠1 =∠2， AE=AF， ∠E =∠ F=90o ， A B C E F 1 2 M N 课堂小结 课堂小结 判定两个直角三角形全等有哪些方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL 由于已有直角条件，我们多使用后4个有角的条件的判定方法. 课堂小结———HL”判定方法应满足什么条件？ 与之前所学的四种判定方法有什么不同？ ———HL”判定方法： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 此判定方法只适用于直角三角形，而之前所学的判定适用于任意三角形. 课堂小结———HL”判定方法应满足什么条件？ 与之前所学 ... ...
