第四章第四节 利用三角形全等测距离（原卷+解析卷）2025-2026学年七年级下初中数学同步复习讲义（北师大版2024）

第四章第四节 利用三角形全等测距离 题型1 全等三角形的应用 题型1．全等三角形的应用（共48小题） （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 1．现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝12m，BC＝8m，CD＝14m，点E是AB边的中点．甲机器人从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C运动，同时乙机器人从点C出发沿CD向点D运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点P和点Q．如果能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则乙机器人的运动速度为（　　） A．或 B．2m/s或 C．3m/s或 D．2m/s或3m/s 【答案】D 【解答】解：∵AB＝12m，E是AB边的中点， ∴BE＝6m， ∵∠B＝∠C，且△BEP与△CPQ全等， ∴BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ， 当BP＝CQ，BE＝CP时， ∵BE＝6m，BC＝8m， 设运动时间为ts，则8﹣2t＝6， 解得t＝1， ∴CQ＝BP＝2×1＝2（cm）， 此时乙机器人的运动速度为：2÷1＝2（m/s）； 当CP＝BP，BE＝CQ时，则， 解得t＝2， 此时CQ＝6，乙机器人的运动速度为：6÷2＝3（m/s）， 故选：D． 2．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处； ③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得DE的长为12m． 那么，河的宽度是（　　） A．8m B．10m C．12m D．15m 【答案】C 【解答】解：从B点沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处， ∴BC＝CD， 由题意知，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD， 在△ABC和△EDC中， ， △ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED＝12， 即河的宽度是12米， 故选：C． 3．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【答案】C 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：C． 4．如图所示小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使DC＝AB，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（　　） A．AO＝CO B．BO＝DO C．AC＝BD D．AO＝CO且BO＝DO 【答案】D 【解答】解：如图，连接CD， 已知对顶角∠AOB＝∠COD， 当AO＝CO且BO＝DO时，则AOB≌△COD（SAS）， ∴DC＝AB， 故选：D． 5．在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：在△COD和△BOA中， ， ∴△COD≌△BOA（SAS）， ∴AB＝CD， 故选：B． 6．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测 ... ...