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课件网) 探索一元二次方程的根与系数的关系. 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.根的判别式是什么？ 3.一元二次方程的求根公式是什么？ 4.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 思考：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？ 解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2+3x-4=0 x1+x2=___；x1 · x2=___. x2-5x+6=0 x1+x2=___；x1 · x2=___. 2x2+3x+1=0 x1+x2=___；x1 · x2=___. -4 1 2 3 -1 -3 -4 5 6 a b c 1 3 -4 1 -5 6 2 3 1 通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 思考：你能证明这个结论吗？ · ax2+bx+c=0(a≠0)（b2-4ac≥0）根据公式法得到两个根为： 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0. · 例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解： a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 解： a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . A 说出下列各方程的两根之和与两根之积： (1) x2 - 2x - 1=0 (2) 2x2 - 6x =0 x1+x2=2 x1x2=-1 x1+x2=3 x1x2=0 例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7. 答：方程的另一个根是 ，k=－7. 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 例 设 是一元二次方程 的两个根 求(1) (2) 【分析】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入． 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：设方程的两个根分别是x1 、x2，根据根与系数的关系可知： 总结常见的求值: 【点睛】求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 例 ：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别 是 请写出这个方程. 解：设这个方程为 ，由一元二次方程根与系数的关系，得 1.若关于x的一元二次方程 的两根互为相反数，求m的值 解：∵x1，x2是方程2x2-3x+m=0的两个实数根， ∴x1+x2= ①， 而8x1-2x2=7 ②， 联立①②解得：x1=1，x2= ， ∴x1 x2= = ， ∴m=1． 故答案为：1． 3 2 1 2 m 2 1 2 1.已知方程 的两根之和与两根之积相等，那么m的值为（ ） A.1 B.-1 C. 2 D. -2 2.方程 的两根和为4，积为-3，则a= ，b= . B 8 -3 3.设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值： 分析：利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法是：(1)利用根与系数的关系求x1＋x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为用含x1＋x2，x1x2的代数式表示；(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入求出待求式的值． 4.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.（用两种方法解答） 解法一： 设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k ... ...
