5.2.1　第2课时　等差数列的性质（教师版）

第2课时　等差数列的性质 |1.能理解等差中项的概念．　2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质． 3．能运用等差数列的性质简化计算．　4.能运用等差数列解决实际问题． eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )) INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 同学们，前面我们学习了等差数列的概念，在学习过程中，我们发现了一件非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4，6，8，10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质． 思考1　如果x，A，y是等差数列，根据等差数列的定义，你能求出A的值吗？ 提示：因为x，A，y是等差数列，所以A－x＝y－A，即A＝. 思考2　设数列{an}的通项公式为an＝3n－1，求出a2＋a7，a3＋a6，并比较它们的大小． 提示：a2＋a7＝3×2－1＋3×7－1＝25， a3＋a6＝3×3－1＋3×6－1＝25， 所以a2＋a7＝a3＋a6. 一　等差中项 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项．根据等差中项与等差数列的定义可知A－x＝y－A，因此A＝. 点拨　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则{an}为等差数列． INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知a，m∈R，m是a和10－a的等差中项，则m的值为_____． (2)已知数列满足2an＋an－1＝nan＋a1，证明：数列为等差数列． 【解】　(1)因为m是a和10－a的等差中项，故2m＝a＋(10－a)＝10，则m＝5.答案为5. (2)证明：依题意，2an＋an－1 ＝nan＋a1， 以n＋1替换n得2an＋1＋nan＝an＋1＋a1， 两式相减并整理得an＋1－an ＝an－an－1， 由于n≥2，所以an＋1－an＝an－an－1， 即2an＝an＋1＋an－1， 所以数列为等差数列． eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 等差中项法证明等差数列 在等差数列{an}中，有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．　 [跟踪训练1] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为_____． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 由已知条件，得a1＋a4＝2(a2＋1)， 即a1＋(a1＋3d)＝2(a1＋d＋1)，解得d＝2. 答案：2 (2)若，，成等差数列，求证：，，也成等差数列． 证明：因为，，成等差数列，所以＝＋， 因此2·－－ ＝(＋)(a＋c)－－－－ ＝2－b(＋)＝0， 所以，，也成等差数列． 二　等差数列的性质 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝_____．特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝_____. 点拨　(1)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同，可以推广为：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az. (2)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…(n∈N＋). [答案自填] ap＋aq　ap＋aq INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知在等差数列中，a2＋a10＝16，a5＝4，则a7＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 (2)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32 B．27 C．24 D．16 (3)若关于x的方程x2－ ... ...