培优2 与数量积有关的最值与范围问题　（教师版）

INCLUDEPICTURE "培优2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../培优2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　与数量积有关的最值与范围问题 INCLUDEPICTURE "小.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../小.TIF" \* MERGEFORMAT 平面向量中的最值、范围问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的最值、范围，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数解析式，转化为求函数的最值． 类型一 向量数量积的最值与范围问题 INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2，c为任意向量，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　) A．－2 B．－ C．－3 D．－ 【解析】　设向量a，b的夹角为θ.由|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2，得cos θ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.在平面直角坐标系中，取a＝(2，0)，b＝(－1，1)，满足|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2.设c＝(x，y)，则a－c＝(2－x，－y)，b－c＝(－1－x，1－y)，所以(a－c)·(b－c)＝(2－x)·(－1－x)＋(－y)(1－y)＝x2－x－2＋y2－y＝＋－，所以当x＝y＝时，(a－c)·(b－c)取得最小值，为－. 【答案】　B eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 对向量数量积的最值(范围)问题求解策略 先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解；在一些和几何图形有关的问题中，也可利用图形、几何知识进行求解．　 类型二 向量模的最值问题 INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(c－a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C． D． (2)设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为_____． 【解析】　(1)由题意得|a|＝|b|＝1，a·b＝0，由a2＝b2＝1，得|a＋b|＝＝，设a＋b与c的夹角为θ，(c－a)·(c－b)＝c2＋a·b－c·(a＋b)＝|c|2－|c||a＋b|cos θ＝0，即|c|＝cos θ，当cos θ＝1，即a＋b与c同向时，|c|取最大值，最大值是.故选C. (2)因为|a|＝8，|b|＝12，所以|a＋b|≤|a|＋|b|＝20，当且仅当a与b同向时取等号，|a＋b|≥|b|－|a|＝4，当且仅当a与b反向时取等号，所以|a＋b|的最大值与最小值分别为20，4. 【答案】　(1)C　(2)20，4 eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 求向量模的最值(范围)一般要利用公式|a|＝转化为函数或均值不等式求解，或利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解．　 类型三 向量夹角的最值问题 INCLUDEPICTURE "典例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../典例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b夹角的最小值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0， 即a·b＝b2，cos 〈a，b〉＝＝＝＝＝，又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4， 所以0