10．1.1　复数的概念（教师版）

INCLUDEPICTURE "数学RJBBX4第十章LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学RJBBX4第十章LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 10．1　复数及其几何意义 10．1.1　复数的概念 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．　2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．　3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件． INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　 INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解； 因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解． 思考　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 提示：能．引入虚数单位i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x＝±i. 1．定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中称i为_____，满足i2＝_____． 2．表示方法：复数一般用小写字母z表示，即_____，其中_____称为z的实部，_____称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b. 3．复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． [答案自填] 虚数单位　－1　z＝a＋bi(a，b∈R)　a　b 【即时练】 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z＝1－i的实部是1，虚部是－i.(　　) (2)方程x2＋1＝0的解为x＝±i.(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．复数z＝1－2i的虚部是(　　) A．2　　　B．－2 C．2i D．－2i 解析：选B.虚部不带i，z＝1－2i的虚部是－2. 3．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝_____． 解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4. 答案：4 eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，b连同它的符号叫做复数的虚部． 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下： 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 [答案自填] 实数　虚数　a＝0　a≠0 INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1)当实数m取何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数；(2)纯虚数． 【解】　(1)当即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数． (2)当即m＝3或m＝－2时，复数z是纯虚数． 【变式探究】 (设问变式)本例条件不变，则当z＞0时，m的值为(　　) A．1 B．5 C．－2 D．3 解析：选B.因为z＞0，所以z为实数，需满足解得m＝5. eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 (1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解． (2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解． [跟踪训练1] (1)已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．4 解析：选A.由z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，得解得x＝2.故选A. (2)(2024·北京市东城区期中)复数z＝(a＋1)＋(a2－ ... ...