6.2.3 向量的数乘运算（14页） 2025-2026学年人教A版2019 高中数学必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 1.理解向量的数乘运算及线性运算的概念. 2.掌握数乘运算的运算律，能进行向量的线性运算. 情境：如图，一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动 1 秒钟的位移对应的向量为 ???? ，那么它向东运动 3 秒钟的位移对应的向量该怎样表示？ ? 类比乘法 记作 与 相同 方向 长度 的3倍 问题1：蚂蚁向东运动 1 秒钟的位移对应的向量为 ???? ，那么它向西运动 3 秒钟的位移对应的向量该怎样表示？ ? O A B C 类比乘法 记作 与 相反 方向 长度 的3倍 向量的数乘： 实数 λ 与向量 a 的乘积是一个向量，记作 λa，满足以下条件： （1）当 λ > 0 时，向量 λa 与向量 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，向量 λa 与向量 a 的方向相反； 当 λ = 0 时，0a = 0. （2）|λa| = |λ| |a|. 思考：观察上图，试说说向量的数乘的几何意义？ 向量的数乘的几何意义： 如图，由实数与向量数乘 λa 的定义可以看出，它的几何意义是： ① 当 λ > 0 时，表示向量 a 的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的 |λ| 倍； ② 当 λ < 0 时，表示向量 a 的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的 |λ| 倍. 由向量数乘的定义容易推出： 在非零向量 a 方向上的单位向量是 问题2：如图，给定向量 ， ，试作下列向量，并进行比较. （1） 和 ； （2） 和 ； （3） 和 . （1） （2） 问题2：如图，给定向量 ， ，试作下列向量，并进行比较. （3） 和 . 思考：结合上述结论，类比实数的乘法运算律，说说你有什么发现？ （3） 数乘运算的运算律： 设 λ，μ 为实数，a，b为向量，根据向量的数乘定义，可得以下运算律： （1）(λ + μ)a = λa + μa；（2）λ(μa) = (λμ)a； （3）λ(a + b) = λa + λb. 向量的加法、减法、数乘的综合运算， 通常称为向量的线性运算 (或线性组合). 例1：设a，b为向量，计算下列各式： （1）( -3)×4a； （2）3(a + b) - (a - b) - a； （3）(2λ - μ)a - λb - (λ - μ)(a - b) (λ，μ为实数). 解：（1）由数乘运算的运算律得( - 3)×4a = ( -3×4)a = -12a； （2）3(a + b) - (a - b) - a = 3a + 3b - a + b - a = a + b； （3）(2λ - μ)a - λb - (λ - μ)(a - b) = (2λ - μ)a - λb - (λ - μ)a + (λ - μ)b = [(2λ - μ) - (λ - μ)]a + [ - λ + (λ - μ)]b = λa - μb. 练一练1：（1）(2????+3?????????)?(3?????2????+????)；（2）(????+????)?????(?????????)????. ? 解：（1）原式 = 2????+3??????????3????+2?????????=?????+5?????2????. ? （2）原式 = (????+?????????+????)???? = 2???????? . ? 例2：设 x 是未知向量，解方程 x + a - 3(x - b) = 0. 解：原式可变形为 x + a - 3x + 3b = 0， 2x = a + 3b， x = a + b. 解：∵点 D 为边 BC 的中点，∴ ∴ ， 例3：如图，已知点 O 是 △ABC 所在平面内一点，点 D 为边 BC 的中点，且 = 0，说明向量 与 的关系. 又 = 0，∴ = 0， ∴ ， 即向量 与 共线且方向相同，长度是向量 长度的 倍. 回顾：根据今天所学，构建知识框图. 向量的数乘运算 数乘运算的定义 数乘运算的运算律 ... ...