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课件网) 6.2.3 向量的数乘运算 课标定位 素养阐释 1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则. 2.理解平面向量数乘运算的几何意义. 3.理解两个平面向量共线的含义. 4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 5.提升直观想象和数学运算的核心素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 思 想 方 法 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、向量的数乘运算 1.如图,已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),它们的长度和方向分别是怎样的 类比数的乘法,该如何表示运算结果 它们的长度和方向分别是怎样的 显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,-3a的方向与a的方向相反,-3a的长度是a的长度的3倍. 2.向量的数乘 3.已知非零向量a,b满足a=4b,则( ) A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反 解析:∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|. ∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同. 答案:C 二、数乘运算的运算律 1.已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立. (1)3(2a)=6a; (2)(2+3)a=2a+3a; (3)2(a+b)=2a+2b. 提示:各式均是成立的(如图). (1)3(2a)=6a; (2)(2+3)a=2a+3a; (3)2(a+b)=2a+2b. 2.(1)设λ,μ为实数,则: λ(μa)= (λμ)a ; (λ+μ)a= λa+μa ; λ(a+b)= λa+λb . 特别地,我们有 (-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. (2)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)= λμ1a±λμ2b . 3. 若a=b+c,则化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)的结果为( ) A.-a B.-4b C.c D.a-b 解析:3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=3a+6b-6b-2c-2a-2b =(3-2)a+(6-6-2)b-2c=a-2(b+c)=a-2a=-a. 答案:A 三、共线向量定理 1.如果b=λa(a≠0),那么向量a,b是否共线 反过来,若向量b与非零向量a共线,那么是否存在一个实数λ,使得b=λa(a≠0) 提示:共线,存在. 2.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. 3.(多选题)若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有 ( ) 解析:由题意知,e1,e2均为非零向量.A中,因为a=-b,所以a,b共线;B中,因为b=-2a,所以a,b共线;C中,因为a=4b,所以a,b共线; D中,因为不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共线. 答案:ABC 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)对于任意向量a和任意实数λ,λa与a一定是共线向量.( √ ) (2)向量λa与a的方向不是相同就是相反.( × ) (3)若向量a和b共线,则必有b=λa.( × ) (4)若向量a和b不共线,且λa=μb,则必有λ=μ=0.( √ ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 向量的线性运算 分析:根据向量的线性运算法则求解. 向量的线性运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. (2)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b) =ma-mb+na-nb-ma-mb+na+nb =(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b=2na-2mb. 探究二 向量线性运算的综合应用 【例2】 在△ABC中. 用已知向量表示待求向量的一般步骤: 提醒:用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系. 探究三 共线向量定理及其应用 本例(2)中,条件改为“欲使ke1+e2和e1+ke2共线且同向”,求实数k的值. 解:∵ke1+e2与e1+ke2共线且同向, ∴存在实数λ(λ>0),使ke1+e2=λ(e1+ke2), 则(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1与e2不共线, 1.证明或判断三点共线的方法 一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ, 使得即可. 2.利用向量共线求参数的方法 已 ... ...
