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课件网) 6.2.4 向量的数量积 课标定位 素养阐释 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义. 2.会计算平面向量的数量积. 3.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.提升数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、向量的数量积 1.如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,其中力、位移分别是矢量还是标量 它们的夹角是什么 提示:力、位移都是矢量,夹角为θ. 2.力F所做的功应当怎样计算 决定功大小的量有哪几个 功是矢量还是标量 提示:由物理知识容易得到W=|F||s|cos θ,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,功是标量. 3.(1)两个向量的夹角 (2)两个非零向量的数量积 4.特别提醒: (1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”; (2)数量积的结果为数量,不再是向量; 答案:(1)A (2)C 二、投影向量 1.如图,已知线段AB和直线l,如果过线段AB的两个端点A,B,分别作直线l的垂线,垂足分别为A1,B1,得到线段A1B1,那么线段A1B1叫做什么 提示:线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段. 2.设直线AB与直线l的夹角为θ,那么|A1B1|与|AB|,θ之间有怎样的关系 提示:|A1B1|=|AB|cos θ. 4.已知非零向量a与b的夹角为45°,|a|=2,与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= . 三、平面向量数量积的性质 1.已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,e为与b方向相同的单位向量. (1)根据数量积公式,计算a·e,a·a. 提示:a·e=|a||e|cos θ=|a|cos θ, a·a=|a||a|cos 0°=|a|2. (2)若a·b=0,则a与b有什么关系 提示:∵a·b=|a||b|cos θ=0,a≠0,b≠0, ∴cos θ=0,θ=90°,a⊥b. (3)当θ=0°和θ=180°时,数量积a·b分别是什么 提示:当θ=0°时,a·b=|a|·|b|;当θ=180°时,a·b=-|a|·|b|. 2.设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a= |a|cos θ . (2)a⊥b a·b=0 . (3)当a与b同向时,a·b= |a||b| ; 当a与b反向时,a·b= -|a||b| . 答案:30° 四、平面向量数量积的运算律 1.根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律(如下表),这些结论正确吗 提示:结合律中的(a·b)·c=a·(b·c)和消去律是错误的,其他都是正确的. 2.(1)向量数量积的运算律 (2)向量数量积的运算性质 (a+b)2=a2+2a·b+b2; (a+b)·(a-b)=a2-b2. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)0·a=0a.( × ) (2)若a·b=0,则a与b至少有一个为零向量.( × ) (3)若a·c=b·c,则a=b.( × ) (4)对于任意向量a,都有a·a=|a|2.( √ ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 计算平面向量的数量积 【例1】 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量a,b的夹角是120°,a,c的夹角是45°.求: (1)a·b; (2)(a-2b)·(3a+b); 分析:根据向量数量积的定义和运算律进行求解. 求向量数量积的一般步骤: (1)运用数量积的运算律展开、化简; (2)确定向量的模与夹角; (3)套用数量积的定义式代入计算. 【变式训练1】 已知|a|=4,|b|=7,且向量a与b的夹角为120°,求(2a+3b)·(3a-2b). 解:(2a+3b)·(3a-2b) =6a2-4a·b+9b·a-6b2 =6|a|2+5a·b-6|b|2 =6×42+5×4×7×cos 120°-6×72 =-268. 探究二 求投影向量 【例2】 已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为 ,则向量a在向量e上的投影向量是 ;向量e在向量a上的投影向量是 . 投影向量的求法 (1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe(其中e为与b同向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,其方向由 ... ...
