2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：空间向量与立体几何（全国甲卷专用）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：空间向量与立体几何（全国甲卷专用） 1．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 2．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是的中点，底面. （1）证明：平面平面； （2）若平面和平面的夹角余弦值为，求点D到平面的距离. 3．如图，在三棱台中，分别是的中点，. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值. 4．图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且二面角的平面角为，如图2． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 5．如图，四棱台的上，下底面为正方形，与交于点，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 6．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 7．如图，在四棱锥中，M为中点，，，. （1）求证：； （2）求四棱锥的体积的最大值； （3）设二面角的大小为，若，设二面角的大小为，求的值. 8．如图，四棱锥中，，． （1）证明：平面； （2）若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值； （3）若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】（1）证明：∵平面，平面， ∴， 又∵，，平面PAD， ∴平面PAD， 又因为平面PAD， ∴， ∵，且E为中点， ∴， 又因为，平面， ∴平面． （2）解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，且平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 所以， 令，则，， ∴， ∴， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 2．【答案】（1）证明：连接， 因为四边形是菱形，，所以是等边三角形， 又因为E是的中点，所以， 因为，所以. 又因为平面，平面， 所以， 又因为平面，平面，， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. （2）解：设， 以所在直线为轴，所在直线为轴，平面过的垂线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则和， 所以， 则， 令，则； 令，则， 所以平面的法向量为， 平面的法向量为， 因为平面和平面的夹角余弦值为， 所以， 解得，所以， 则平面的法向量为， 因为， 所以点D到平面的距离. 3．【答案】（1）证明：在三棱台中，连接，令，连接， 由，得，由为中点，得，而， 则四边形为平行四边形，为中点，又为中点，因此， 而平面，平面，所以平面. （2）解：在中，，为中点，则，， 在中，，由余弦定理得， 于是，则， 即直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角的正弦值. 4．【答案】（1）证明：在图1中，过分别作，垂足分别为， 则， 连接，得， 所以四边形为菱形， 连接，交于点，则. 在图2中，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）解：由（1）知，为二面角所成的平面角， 所以， 过作，建立如图空间直角坐标系， 则， 得 设平面和平面的一个法向量分别为， 则和， 令，得， 所以， 则， 又因为平面和平面的夹角为锐角， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 5．【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，平面， ∴. 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，平面， ∴ ... ...