(
课件网) 高考命题是以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会与运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等． 一 函数与方程思想 函数思想 方程思想 函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得到解决的思想 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 应用1 借助函数关系解决问题 在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解． 如图1，将一张边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形：△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再将剩下的阴影部分折成一个正四棱锥P-EFGH，使点E与点E1重合，点F与点F1重合，点G与点G1重合，点H与点H1重合，点A，B，C，D重合于点O，如图2.则正四棱锥P-EFGH的体积的最大值为( ) √ 本题求体积(面积)的最值时，由于函数式较复杂，便采用了换元法进行化简，进而利用导数法求最值，计算简便化，换元时要注意写出新元的取值范围．此题有意识地凸显其函数关系，进而用函数思想或函数方法研究问题、解决问题，由此不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平． 应用2 转换函数关系解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难解题时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解． √ 应用3 构造函数关系解决问题 在数学各分支的形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分挖掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移． 已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－a ln x成立，则a的最小值为___． e 解答本题的关键点： (1)对于结构相同(相似)的不等式，通常考虑变形，构造函数． (2)利用指数式与对数式构造函数y＝ex－x. 应用4 建立方程(组)形式解决问题 分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知量的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方法． √ 此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系，得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率． 应用5 转换方程形式解决问题 把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸显其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方法． √ 本例运用方程的思想，把已知条件通过变形得到关于cos αcos ... ...
