北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》 《正方形的性质与判定》(第1课时)教案 【教学目标】 1.知识与技能 了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理． 2.过程与方法 经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法． 3.情感态度和价值观 培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值． 【教学重点】 探索正方形的性质定理． 【教学难点】 掌握正方形的性质的应用方法． 【教学方法】 合作、探究 【课前准备】 多媒体课件 【教学过程】 复习回顾 (1)平行四边形有哪些性质 矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质 菱形的性质有哪些呢？ 让学生分别从边、角、对角线等方面回忆它们的性质. 二、探究新知 1.正方形的定义 活动1： 满足什么条件的菱形是正方形？ 有一个角是直角 问题: 从这个图形中你能得到什么？你是怎样想到的？ 当=90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形. 定义1.有一个角是直角的菱形叫做正方形。 活动2：满足什么条件的矩形是正方形？ 邻边相等 定义2.邻边相等的矩形叫做正方形。 活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？ 邻边相等且有一个角是直角 定义3.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形在生活中随处可见，你能举出一些生活中正方形的例子吗？与同伴交流。 2.正方形的性质： 活动4. 正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？ 正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。 1.对称性： 正方形是中心对称图形,对称中心为点O，它也是轴对称图形,有4条对称轴. 性质： 它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分. 具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等. 具有菱形的一切性质：四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角. 活动5： 证明定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 已知：正方形ABCD，求证:AB=BC=CD=AD ,∠A=∠B=∠C=∠D. 分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证. 证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD , ∵四边形ABCD是正方形 ∴四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D. 证明定理：正方形的对角线相等且互相垂直. 已知ABCD是正方形，AC、BD分别是正方形的两条对角线，且交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD.21cnjy.com 证明：∵ABCD是正方形, ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB, ∵BC=BC. ∴ΔABC≌ΔDCB, ∴AC=BD. ∵OB=OD,AB=AD,OA=OA, ∴ΔAOB≌ΔAOD, ∴∠AOB=∠AOD, 又∠AOB+∠AOD=90°, ∴∠AOB=90°, ∴AC⊥BD, 即对角线互相垂直且相等. 例题讲解 例1．正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=_____. 解析：∵四边形ABCD是正方形 ∴BC=AB=2,∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，. 例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=_____. 分析：由正方形的性质可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA. 解：∵ABCD是正方形 ∴AO=AC=5 ,∠BAC=45°,AC⊥BD 又∵PE⊥AC, PF⊥BD ∴四边形PEOF为矩形 ∴PF=OE ∴ 在△APE中,∠PAE=45° ∴AE=PE ∴PE+PF=AE+OE=AO=5. 例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.21·cn·jy·com 分析：(1)由正方形的性质得到∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，结合CE=CF，可证△BCE≌△DCF，从而有BE=CF; (2)延长BE交DE于点M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代换得到∠BMF=90°，从而有BE⊥CF.2·1·c·n·j·y 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90° ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90 ... ...
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