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课件网) 培优课 二项分布与超几何分布的综合应用 能力提升 1.了解二项分布与超几何分布的区别与联系（数学抽象）. 2.掌握二项分布的综合应用（数学建模、数学运算）. 3.掌握超几何分布的综合应用（数学建模、数学运算）. 重点解读 一、二项分布与超几何分布的辨析 【例1】 甲、乙两人去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从 6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛 选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘 者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响. （1）求甲正确完成面试题目数的分布列、均值与方差； 解： 设X为甲正确完成面试题目的数量， 由题意可得X服从超几何分布，且N＝6，M＝4，n＝3， ∴P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ， P（X＝3）＝ ＝ ， ∴X的分布列为 X 1 2 3 P ∴E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝2. D（X）＝（1－2）2× ＋（2－2）2× ＋（3－2）2× ＝ . （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 解： 设学生乙答对的题目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1， 2，3， 由题意知Y～B（3， ）， 因此E（Y）＝3× ＝2， D（Y）＝np（1－p）＝3× × ＝ ， 又E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大. 【规律方法】 二项分布与超几何分布的区别与联系 区别 （1）二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要； （2）二项分布是 “有放回”抽取（独立重复），超几何分布 是“不放回”抽取 联系 在n次不放回试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很 小，那么此时超几何分布可以近似为二项分布 训练1 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该 流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组 区间为[490，495），[495，500），…，[510，515]，由此得到样本的频 率分布直方图如图. （1）根据频率分布直方图，求这40件产品中质 量不低于505克的产品数； 解： 质量不低于505克的产品的频率为 5×0.05＋5×0.01＝0.3， ∴质量不低于505克的产品数为40×0.3＝12. （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量不低于505克的产品 数，求X的分布列和均值； 解： 质量不低于505克的产品数为12，则质量低于505克的产品数为 28，X的可能取值为0，1，2，X服从超几何分布. P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴X的均值为 法一 E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ . 法二 E（X）＝ ＝ . （3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量不低于505克的产品数，求Y 的分布列和均值. 解： 根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量不低于 505克的概率为 ＝ . 质量不低于505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B（ 2， ）， P（Y＝k）＝ ×（ ）k×（ 1－ ）2－k，k＝0，1，2， ∴P（Y＝0）＝ ×（ ）2＝ ， P（Y＝1）＝ × × ＝ ， P（Y＝2）＝ ×（ ）2＝ . ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P ∴Y的均值为 法一 E（Y）＝0× ＋1× ＋2× ＝ . 法二 E（Y）＝2× ＝ . 二、二项分布的综合应用 【例2】 如果X～B ，那么当P（X＝k）取得最大值时，k ＝ . 6或7 解析：由题意知，X服从二项分布，所以P（X＝k）＝ × × ＝ × × ，P（X＝k－1）＝ × × ，k∈N且k≤20.由不等式 ≤1，即 ≤1，解 得k≤7.所以当k≤7时，P（X＝k）≥P（X＝k－1）；当k＞7时，P （X＝k－1）＞P（X＝k）.因为当k＝7时，P（X＝k－1）＝P（X＝ k）.所以k＝6或k＝7时，P（X＝k）取得最大值. 【规律方法】 二项分布概率最大问题的求解思路 如果X～B（n，p），其中0＜p＜1，求P（X＝k ... ...
