第六章 | 平面向量及其应用 6．3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 明确目标 发展素养 1.了解向量的一个基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理． 2.在平面内，当一个基底选定后会用这个基底来表示其他向量． 3.能灵活应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 1.通过理解平面向量基本定理的概念，提升数学抽象、直观想象素养． 2.通过运用平面向量基本定理解决问题，达成逻辑推理、数学运算素养. 知识点 平面向量基本定理 (一)教材梳理填空 平面向量基本定理： (1)定理： 如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底： 若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． [微思考] 定理中的“不共线”是否可以去掉？平面内的任一向量都能用e1，e2唯一表示吗？ 提示：不能去掉“不共线”，两个共线向量不能表示平面内的任一向量，不能作为基底．平面内任一向量都能用两个确定的不共线的e1，e2表示，且这样的表示是唯一的． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底． ( ) (2)零向量可以作为基向量． ( ) (3)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量． ( ) 2．若e1，e2是平面内的一个基底，则下列向量能作为平面向量的基底的是 ( ) A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 3．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为_____． 4．若向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为_____． 题型一 对平面向量基本定理的理解 【学透用活】 (1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． (2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值． (3){e1，e2}是同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． [典例1] (多选) 如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，有下列向量组，可 作为该平面内的其他向量基底的是 ( ) A．与 B．与 C． 与 D．与 【对点练清】 1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量 是 ( ) A．， B．， C．， D．， 2．设{e1，e2}是平面内的一个基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝( ) A. B．－ C．－3 D．3 题型二 用基底表示向量 【学透用活】 [典例2] (1)(多选)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则下列结论中正确的是 ( ) A．＝－a－b B．＝a＋b C．＝－a＋b D．＝a (2)如图所示，在 ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G.若＝a，＝b，试用a，b表示向量，. 【对点练清】 1．[变设问]若本例(2)中条件不变，试用a，b表示. 2．[变条件]若本例(2)中的基向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，. 3．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝3＝r＋s，求r－s的值． 题型三 平面向量基本定理的应用 【学透用活】 [典例3] 如图，在△ABC中，点M是 BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 【对点练清】 面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量， ， ； (2)求证：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分． 课时跟踪检测 层级(一)——— ... ...
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