第03讲 平面向量基本定理与坐标表示 练习（解析版）

第03讲平面向量基本定理与坐标表示 【题型1】平面向量共线定理证明点共线问题 例题1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【详解】由题可得， 又线段BD与线段AB有公共点B，所以三点共线. 【针对训练】 1．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 2．（2024高一下·全国·专题练习）已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为向量，，所以． 又，所以与共线． 故选：B． 【题型2】平面向量基本定理的推论及其应用 例题1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 【针对训练】 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A．4 B． C． D． 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 【针对训练】 1．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（ ） A． B．2 C． D．1 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点， 设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 2．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 . 【详解】因为，所以，又， 所以， 因为点三点共线，所以，解得. 故答案为： 3．（25-26高三上·四川成都·月考）如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则 . 【详解】由是线段的中点，可得， 又由是线段的中点，可得， 所以 ， 即， 【题型3】已知向量共线（平行）求参数 例题1．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（ ） A． B． C． D． 【详解】由于，故存在实数，使得，故，解得， 故选：A 【针对训练】 1．（23-24高一下·重庆渝中·月考）已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ） A． B． C． D．1 【详解】由，，，得， 由，，三点共线，得存在实数，使得，即， 因此，解得. 故选：C 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知两个非零向量和不共线，且和共线，则实数 ． 【详解】和共线，存在实数，使得． ， 又和不共线，所以，化简得出，解得. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 【详解】因 ，且的夹角为，则， 由 ，解得 又由可得，即， 解得，因， 的取值范围是． 故答案为：． 【题型4】平面向量的坐标表示与线性运算 例题1.（25-26高一下·全国·课堂例题），，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 【详解】因，，则. 例题2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（ ） A． B． C． D． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 【针对训练】 1．（25-26高一上·北京房山·期末）已知点，则向量（ ） A． B． C． D． 【详解】因为点，， 所以 ... ...