《学霸笔记 同步精讲》6.3.1 平面向量基本定理 练习（教师版）数学人教A版必修二

6.3.1　平面向量基本定理 课后训练巩固提升 A组 1.如图所示,在矩形ABCD中,若=6e1,=4e2,则等于(　　) A.3e1+2e2 B.3e1-2e2 C.2e1+3e2 D.2e1-3e2 解析:)=)=3e1+2e2. 答案:A 2.若=a,=b,=(λ≠-1),则等于 (　　) A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b Da+b 解析:=a+=a+λ()=a+λ(b-),a+b. 答案:D 3.在△ABC中,D,E,F依次是BC的四等分点,以=e1,=e2为基底,则等于(　　) Ae1+e2 Be1+e2 Ce1-e2 De1+e2 解析:∵D,E,F依次是BC的四等分点, )=(e1+e2),=e2-e1, (e1+e2)+(e1+e2)+(e2-e1)=e1+e2. 答案:A 4.如图,在△ABC中,AH⊥BC于点H,M为AH的中点,若=+,则λ+μ的值为 (　　) A.-1 B C.1 D.2 解析:∵B,H,C三点共线,=(1-t)+t ∴2=(1-t)+t , ∴λ=,μ=,∴λ+μ= 答案:B 5.(多选题)设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下面四组向量中,能作为基底的是(　　) A.e1与e1-e2 B.e1+e2与e1-3e2 C.e1-2e2与-3e1+6e2 D.2e1+3e2与e1-2e2 解析:对于选项A,B,D,所给的两个向量不共线,故可以作为基底;对于选项C, ∵-3e1+6e2=-3(e1-2e2), ∴e1-2e2与-3e1+6e2共线,故不能作为基底. 答案:ABD 6.如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设=e1,=e2,以e1,e2为基底来表示= 　　　　, =　　　　　　　. 解析:=e1+(e2-e1)=e1+e2, =(e1+e2)+(e2-e1)=e1+e2. 答案:e1+e2　e1+e2 7.设向量m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,用m,n表示p的结果是　　　　　　　　　　　　　　　. 解析:设p=xm+yn,则3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b, 得解得 故p=-m+n. 答案:p=-m+n 8.已知正三角形ABC的边长为2,设=2=3,则=　　　　　. 解析:)·() =) = =2-4+4-2=-2. 答案:-2 9.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:{a,b}可以作为一个基底; (2)以{a,b}为基底,求向量c=3e1-e2的分解式; (3)若4e1-3e2=λa+ub,求λ,u的值. (1)证明:假设a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1,e2不共线,得 故λ不存在,即a与b不共线,可以作为一个基底. (2)解:设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 因为e1,e2不共线, 所以解得 故c=2a+b. (3)解:由4e1-3e2=λa+ub,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+u(e1+3e2)=(λ+u)e1+(-2λ+3u)e2, 得解得 二、B组 1.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　) A.m>0,n>0 B.m>0,n<0 C.m<0,n>0 D.m<0,n<0 解析:如图所示,利用平行四边形法则,将分解到上,有,则=m=n, 很明显方向相同,则m>0; 方向相反,则n<0. 答案:B 2.在△ABC中,()·()=0,,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析:∵()·()=0, =0,∴||=||. ,=0. ()=0. =0. ∴△ABC是等腰直角三角形. 答案:D 3.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　. 解析:如图,由题意知,D为AB的中点,, 则)=- 即λ1=-,λ2= 故λ1+λ2=- 答案: 4.如图,在平行四边形ABCD中,点O为AC的中点,点N为OB的中点,设=a,=b,若用a,b来表示向量, 则=　　　　　. 解析:以=a,=b作为以点A为公共起点的一组基底,则)=a+b. 答案:a+b 5.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=+(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于　　　. 解析:如图,过点C分别作OA,OB的平行线,且与OA,OB的延长线分别交于D,E,可得平行四边形ODCE,则. 在Rt△OCD中,因为||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°, 所以||=4,||=2,故=4=2, 即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6. 答案:6 6.如图,在△OAB中,=a,=b,M,N分别是边OA,OB上的点,且a,b.设AN与BM相交于点P,用向量a,b表示 解: 设=m=n(m,n为实数), 则+ma+m(1-m)a+mb,+nb+n(a-b)=(1-n)b+na. 由a,b不共线,得解得 故a+b. 7.在边长为1 ... ...