杭州学军中学 2025 学年高一(下)数学周末练 2 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1. 已知 为虚数单位,若 ,则 ( ) A. -2 B. 2 C. D. 2. 如下图, 是线段 的中点,设向量 ,那么 能够表示为 ( ) A. B. C. D. 3. 如图,已知等腰三角形 是一个平面图形的直观图,斜边 ,则这个平面图形的面积是( ) A. B. 1 C. D. 4. 在四边形 中， ，且 ，则 () A. B. C. D. 5. 在 中，角 的边分别为 ，知 ，则下列判断中错误的是( ) A. 若 ,则 B. 若 该三角形有两解 C. 周长的最小值为 12 D. 面积的最大值 6. 在 中,角 所对的边分别为 ,若 为 的角平分线,且 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 7. 记 ,设 为平面内的非零向量,则 ( ) A. B. C. D. 8. 如图,这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 的图形, 已知 是平面四边形 内一点，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 已知 是虚数单位， ，复数 是 共轭复数，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 10. 设点 是 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A. 若 ,则点 是边 的中点 B. 若 ,则点 在边 的延长线上 C. 若 ，则点 是 的重心。 D. 若 ,且 ,则 的面积是的 面积的 11. 在 中，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ) A. 若 ,则 B. 若 ，则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 如图是一个正四棱台 ,已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2 和 6，体积为 ，则侧面积为_____. 13. 已知单位向量 ，若对任意实数 ， 恒成立，则向量 的夹角的取值范围为_____. 14. 在 中,角 的对边分别为 ,且 ,若当 变化时, 存在最大值，则正数 的取值范围是_____ 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知 是复数， 与 均为实数. (1)求复数 ； (2)复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围. 16. 如图,长方体 的体积是 为 的中点,平面 将长方体分成三棱锥 和多面体 两部分,其中 . (1)求三棱锥 的体积； (2)求多面体 的表面积. 17. 在 中， 为三个内角 为三条边， 且 (1)判断 的形状； (2)若 ，求 的取值范围. 18. 如图,已知 ,圆 是以 为圆心半径为 2 的圆,圆 是以 为圆心、半径为 1 的圆,设点 分别为圆 ,圆 上的动点, (且 和 同向),设 (1)当 ，且 时，求 的值； (2)用 表示出 ，当 的值为多少时， 取最小值并求出最小值. 19. 在 中, 为 的中点, . (1)若 ，求 的长； (2)若 ，求 的长. 《杭州学军中学 2025 学年高一(下)数学周末练 2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A C B D D ABD ACD 题号 11 答案 AB 1. B 解: , 则 . 故选: B. 2. B 由题意, . 故选: B 3. D 在直观图中, ,而 ,因此 是等腰直角三角形, 利用斜二测画法的定义,画出原图形, 由等腰 斜边 ,得 , 因此 , 所以原平面图形的面积是 . 故选: D 4. A 因为 ,所以 且 , 故四边形 为平行四边形, 设 都是单位向量,且 , 两边平方得 ,即 , 所以 ,解得 , 故 , 又 均为单位向量,故 , 即 ，且 平分 ， 故四边形 为菱形,且 , 故 为等边三角形, , ,两边平方得 故 . 故选: A 5. C 对于 ,由正弦定理得 , 所以 ,故 A 正确; 对于 ,由正弦定理得 得,所以 , 因为 ,则 有两个解,所以该三角形有两解,故 正确; 对于 ,由 ,得 所以 ,当且仅当 时取等号,此时三角形为等边三角形,周长最大,周长为 12,故 错误; 对于 ,由选项 知, ,当且仅当 时取等号, 故 所以 面积的最大值为 ，故 D 正确. 故选: C. 6. B 因为 ,由正弦定理可得 , 所 ... ...
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