江苏九校高三联合测试 数学试题 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 若 ，则 A. 1 B. 2 C.3 D. 3 2. 设集合 ，若 含有 4 个元素，则 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 的展开式中常数项为 A. B. C. D. 4. 已知两条直线 和平面 ,则下列命题为真命题的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1 , 状态 2 , 状态 3 , …… , 每种状态下的粒子经过 1 秒有两种可能: 状态保持不变或变为更高一级状态, 已知状态 1 的粒子有 的概率变为状态 2,状态 2 的粒子有 的概率变为状态 3,以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子, 则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占 A. 39% B. 51% C. 64% D. 73% 6. 若直线 上存在点 ,圆 上存在点 ,使得 ,则 的最大值为 A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 7. 记 的内角 的对边分别为 , ,则 的面积为 A. 1 B. C. D. 8. 已知正数 满足 ,则 A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是 A. 若随机变量 ,则 B. 若事件 相互独立,则 C. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8 D. 用相关指数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好 10. 已知函数 ,则 A. 曲线 与曲线 存在相同的对称中心 B. 曲线 与曲线 存在相同的对称轴 C. 曲线 向左平移 个单位得到曲线 D. 曲线 与曲线 关于 轴对称 11. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点,经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 . 设 ,则 A. 时， 平面 B. 时， C. 四面体 的体积为 3 D. 四棱锥 的体积的最小值为 4 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知向量 ，且 ，则 _____. 13. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 有唯一的公共点 ,则 _____. 14. 已知函数 ,对任意 ,都有 ,则 的取值范围为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 如图,已知 是圆锥 的轴截面, . (1)求圆锥 的外接球的表面积； (2)若 为弧 的中点，求二面角 的正切值. 16. (15 分)已知数列 各项均不为零， . (1)当 时，求 的前 50 项和; (2)若 ，求正整数 的最小值. 17. (15 分) 某次考试的多项选择题, 每题 4 个选项中正确选项有 2 个或 3 个, 得分规则如下: 若正确选项有 2 个, 只选 1 个且为正确选项得 3 分, 选 2 个且都为正确选项得 6 分, 否则得 0 分; 若正确选项有 3 个, 只选 1 个且为正确选项得 2 分, 选 2 个且都为正确选项得 4 分，选 3 个且都为正确选项得 6 分，否则得 0 分. 学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 , 记 为甲随机选择 1 个选项的得分, 为甲随机选择 2 个选项的得分. (1)若 ，求 ； (2)求 的概率分布列和数学期望； (3)证明:当且仅当 时， . 18. (17 分) 已知双曲线 的离心率为 是 上一点. 直线 的斜率为 -1,且与 交于 两点. (1)求 的方程； (2)若 ，求 的方程； (3)证明: 的外接圆的圆心 在定直线上. 19. (17 分) 已知函数 . (1)对任意 是 的必要条件，求 的最小值； (2)对任意 ，函数 存在两个零点 . (i) 求 的取值范围; (ii) 对于 (i) 中给定的 ,证明: 当 取得最小值时, . 江苏九校高三联合测试 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 若 ,则 A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C ,选 C. 2. 设集合 ，若 含有 4 个元素，则 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 或 无解, 或 1. 故可能使元 ... ...
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