2025-2026 学年 (下) 厦门大学附属科技中学高三 3 月限时 训练 数学试题 时长:120 分钟 满分:150 分 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 ，则 () A. B. C. D. 2. 已知 为虚数单位，则 的虚部为( ) A. -1 B. 1 C. i D. -i 3. 已知等差数列 的公差 ，则 的最小值为 ( ) A. 2 B. C. 4 D. 4. 若函数 是奇函数，则 的值为( ) A. 2 B. -2 C. -1 D. 1 5. 若平面向量 两两的夹角相等,且 ,则 ( ) A. 3 B. 4 C. 3 或 0 D. 4 或 1 6. 已知圆 与直线 相交于 两点，当 最小时， 的值为( ) A. B. C. D. 7. 已知四面体 满足 均为等腰三角形,若 ，则该四面体外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 8. 若 ,则下列不等关系一定不成立的是( ) A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分. 9. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.为分析两种疗法效果是否有差异，为对治疗情况进行检查，随机抽取了 136 名患儿， 得到如下数据: 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲( ) 15 52 乙 6 63 附:常用小概率值及其相应的临界值表为: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得 ，则下列说法正确的是( ) A. 以频率估计概率,有 B. 以频率估计概率,有 C. 若取 ,可以认为疗效与疗法独立 D. 若取 ,可以认为疗效与疗法独立 10. 已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4， 为 的右焦点，点 在 上,且关于 轴对称,其中点 在第一象限. 分别为线段 的中点,点 , 为坐标原点,则( ) A. 的方程为 B. C. 的最小值为 D. 的面积的取值范围为 11. (多选) 如图,三棱台 中， 是 上一点， 平面 ,则 ( ) A. 过点 有四条直线与 所成角均为 B. 平面 C. 棱 上存在点 ,使平面 平面 D. 若点 在侧面 上运动,且 与平面 所成角的正切值为 4,且 长度的最小值为 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _____. 13. 函数 的部分图像如图所示,设 是图象的最高点, 是图象与 轴的交点,记 ，则 _____. 14. 已知 ,则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. 已知 分别为 的内角 所对的边， 且 . (1)求 ； (2)已知 是边 的中点，求 的最大值. 16. 如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 2 的正方形,侧面 是正三角形, 侧面 底面 是 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)试问在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与底面 所成夹角的余弦值为 ， 若存在求出 的值,若不存在,请说明理由. 17. 2026 年被业界公认为“具身智能元年”. 得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟. 人工智能已经不再是概念和愿景, 而是开始真实地走进企业和家庭, 重新定义人类的工作和生活. 新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解, 举办知识竞赛活动. 活动分两轮进行, 第一轮通过后方可进入第二轮, 两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格. 已知小明、小华,小方 3 位同学通过第一轮的概率均为 ,在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为 ，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率； (2)从 3 人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这 3 人中通过第二轮的人数为 ，求 的分布列及期望. 18. 已知双曲线 离心率为 为坐标原点， 、 为左、右焦点,直线 过右焦点 与右支交于 两点,当 轴时, . (1)求双曲线 的方程； (2)若动点 ( )在双曲线 右支上，设 的平分线分别与 轴、 轴交于点 ,直线 与双曲线左、右支分别交于 两点,如图所示: ① 求实数 的取值范围 ... ...
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