【培优方案】第七章 培优课　离散型随机变量均值与方差的应用（课件）数学（人教A）选择性必修第三册

(课件网) 培优课　 离散型随机变量均值与方差的应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 利用均值与方差求参数 【例1】　已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a b c 若E（X）＝ ，D（X）＝ ，求a，b，c的值. 解：根据题意易知a＋b＋c＝1， 由E（X）＝ ，可得－1×a＋0×b＋1×c＝c－a＝ ； 由D（X）＝ ，可得（－1－ ）2a＋ b＋（1－ ）2c＝ a＋ b＋ c＝ ， 化简可得16a＋b＋4c＝5，联立解得 所以a＝ ，b＝ ，c＝ . 通性通法 　　利用分布列的性质、均值公式及方差公式建立方程或方程组解决 有关参数问题，在具体问题中密切关注参数的范围及实际意义. 【跟踪训练】 　（多选）已知随机变量X的分布列为： X －1 0 1 P m 0.2 0.3 若随机变量Y＝aX＋b（a＞0，b∈R），E（Y）＝10，D（Y）＝ 19，则下列选项正确的为（　　） A. m＝0.5 B. a＝6 C. b＝11 D. P（Y＝16）＝0.3 解析： 　依题意，由分布列可得m＋0.2＋0.3＝1，解得m＝ 0.5，A正确；E（X）＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2，D （X）＝[－1－（－0.2）]2×0.5＋[0－（－0.2）]2×0.2＋[1－ （－0.2）]2×0.3＝0.76，因为Y＝aX＋b（a＞0，b∈R），所以 E（Y）＝aE（X）＋b＝－0.2a＋b＝10，D（Y）＝a2D（X）＝ 0.76a2＝19，解得a＝5，b＝11，B错误，C正确；所以随机变量Y的 分布列为： Y 6 11 16 P 0.5 0.2 0.3 由分布列可知D正确.故选A、C、D. 题型二 与均值和方差有关的最值问题 【例2】　已知某人每次投篮的命中率为p（0＜p＜1），投进一球得 1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则 的最大值 为 . 2－2 　 解析：由题意可知，X服从两点分布，可得E（X）＝p，0＜p＜1， D（X）＝（1－p）p，则 ＝ ＝2－2p－ ＝2－ （2p＋ ）≤2－2 ＝2－2 ，当且仅当2p＝ ，即p＝ 时，等号成立，故 的最大值为2－2 . 通性通法 　　处理均值与方差的最值问题，主要是利用分布列的性质、均 值公式及方差公式建立函数模型，利用函数的单调性或基本不等 式解决最值. 【跟踪训练】 　若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变 量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D（X）的最大值 为 　 　，此时p＝ 　 　. 解析：随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且P（X＝1）＝p， P（X＝0）＝1－p.从而E（X）＝0×（1－p）＋1×p＝p，D （X）＝（0－p）2×（1－p）＋（1－p）2·p＝p－p2＝－ ＋ .∵0＜p＜1，∴当p＝ 时，D（X）取最大值，最大值是 . 　 　 题型三 利用均值与方差决策问题 【例3】　某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该 软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新 产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万 元，40万元，且P（X＝20）＝0.3，期望E（X）＝30； 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万 元，30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3. （1）请写出方案一的分布列，并求方差D（X）； 解： 设P（X＝0）＝a，P（X＝40）＝b， 依题意得a＋b＋0.3＝1，　　① 又E（X）＝0×a＋20×0.3＋40b＝30，　② 由①②解得：a＝0.1，b＝0.6， ∴X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则D（X）＝（0－30）2×0.1＋（20－30）2×0.3＋（40－ 30）2×0.6＝180. （2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种 广告？并说明你的理由. 解： 由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则E（Y）＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20， D（Y）＝（10－20）2×0.3＋（20－20）2×0.4＋（30－20） 2×0.3＝60. 由E（X）＞E（Y ... ...