【培优方案】8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（讲义）（学生版）人教A版数学必修第二册(6)

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 新课程标准解读 核心素养 1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式 直观想象 2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算 　　在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体. 　　这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体. 【问题】　你会求上述几何体的表面积及体积吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 图形 表面积和体积 圆柱 S圆柱＝　　　　　（r是底面半径，l是母线长）； V圆柱＝　　　　　（r是底面半径，h是高） 圆锥 S圆锥＝　　　　　（r是底面半径，l是母线长）； V圆锥＝　　　　　（r是底面半径，h是高） 圆台 S圆台＝　　　　　（r'，r分别是上、下底面半径，l是母线长）； V圆台＝　　　　　（r'，r分别是上、下底面半径，h是高） 提醒　圆柱、圆锥、圆台的关系：①侧面积公式间的关系，S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r'）lS圆锥侧＝πrl； ②体积公式间的关系 V＝ShV＝（S'＋＋S）hV＝Sh. 知识点二　球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S＝　　　　（R为球的半径）. 2.球的体积公式V＝　　　　. 1.若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为　　　　，表面积为　　　　. 2.已知两个球的半径之比为2∶3，则它们的表面积之比为　　　　，体积之比为　　　　. 3.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面积为　　　　. 题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 【例1】　（1）若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（　　） A.40π　　 B.36π C.26π　　 D.20π （2）圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图是扇环，其圆心角为π，则圆台的表面积为　　　　 cm2.（结果中保留π） 通性通法 　　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： （1）得到空间几何体的平面展开图； （2）依次求出各个平面图形的面积； （3）将各平面图形的面积相加. 【跟踪训练】 1.（多选）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB＝4，AC＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是（　　） A.圆柱的侧面积为2π B.圆柱的侧面积为6π C.圆柱的表面积为6π＋12π D.圆柱的表面积为2π＋6π 2.（2024·枣庄质检）若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为　　　　，表面积为　　　　. 题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积 【例2】　（1）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是（　　） A. B. C.64π D.128π （2）已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为　　　　. 通性通法 圆柱、圆锥、圆台体积的求法 　　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，即由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解. 【跟踪训练】 1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　） A.5π B.6π C.20π D.10π 2.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（　　） A.2π B.π C.π D.π 题型三 球的表面积与体积 【例3】　（1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是（　　） A.12π cm3 B.36π cm3 C.64π cm3 D.108π cm3 （2）半径 ... ...