2025-2026 学年高一数学下学期第一次质量检测 (考试时间: 120 分钟, 分值: 150 分) 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 58 分) 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1. 化简后等于( ) A. B. C. D. 2. 已知 为 所在平面内一点, ,则() A. B. C. D. 3. 已知 ，且 在 上的投影向量的模为 ，则 与 的夹角为( ) A. B. C. 120° D. 或 4. 已知 是两个不共线的向量，向量 共线，则实数 的值为( ) A. B. C. D. 5. 已知三角形 满足 ，则三角形 的形状一定是( ) A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 6. 设 为平面上四点, ,且 ,则下列结论正确的是( ) A. 点 在线段 上 B. 点 在线段 上 C. 点 在线段 上 D. 四点共线 7. 已知 ，且关于 的方程 有实根，则 与 的夹角 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 设 为 所在平面内一点，满足 ，则 的面积与 的面积的比值为( ) A. 6 B. C. D. 5 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列说法错误的是( ) A. 若 ,则 B. 若 ，则 C. 对任意向量 都有 D. ，则 与 中至少有一个为0 10. 下列说法其中正确的说法为( ) A. 若 ,则 B. 若 分别表示 ， 的面积，则 C. 两个非零向量 ，若 ，则 与 共线且反向 D. 若 ，则存在唯一实数 使得 11. 下列说法正确的是( ) A. 已知 ，则 的最小值为 6 B. 在 中，若 ，则 为钝角三角形 C. 在 中，若点 满足 ，则 为 的垂心 D. 若 与 的夹角为 ,则 在 方向上的投影向量为 第二部分 (非选择题 共 92 分) 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知向量 满足 ， ，且 ，则 _____. 13. 为圆 的一条弦，且 ，则 的值为_____. 14. 已知 是边长为 1 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 15.(13分) (1)化简 (2)设向量 ，求 . 16. (15 分) 已知 . (1)若 ，求 ； (2)若 的夹角为 ，求 ； (3)若 ，求 与 的夹角为 . 17. (15 分) 如图，在平行四边形 中， . (1)用向量 ， 表示 ， ； (2)若 ，证明: 三点共线. 18.(17分) 已知两个单位向量 与 的夹角为 ，设 . (1)求 最小值； (2)若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围. 19. (17 分) 如图所示, 是 的一条中线,点 满足 ，过点 的直线分别与射线 ,射线 交于 两点. (1)用 和 表示 ； (2)设 ，实数 ，求 的值； (3)如果 是边长为 的等边三角形，求 的取值范围. 2025-2026 学年高一数学下学期第一次质量检测 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D D B B B D BCD BC ACD 8.延长 到 ,使 ,延长 到 ,使 ,连接 , 因为 ,所以 , 所以 为 的重心, 所以设 ,则 , 所以 , 所以 ,故选: 11.对 ,因为 , 当 反向共线时等号成立,故 A 正确; 对 ,由 可知 的外角为钝角,所以 为锐角, 故不能判断 为钝角三角形,故 错误; 对 ,因为 与 的夹角为 , 所以 在 方向上的投影向量为 ,故 D 正确. 故选: ACD 12.【答案】 13.【答案】2 14. 一、可用几何法和极化恒等式法; 二、坐标法 以线段 的中点 为坐标原点, 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则 , 设点 ,则 , 所以, , 则 , 当且仅当 时， 取最小值 . 15.( 1 )原式 ; (2)由所求式 ... ...
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