【学科融合研究——高中物理与数学】三、三角函数与图像变换 4· 图像的舞动

学科融合研究高中物理与数学 4.图像的舞动 【必备知识】 一、正、余弦函数 数学家傅里叶指出了所有函数图像都可看作是不同频率的正、余弦函数图像的叠加.但 这里聚焦的是正、余弦函数在数学学习和物理应用中的一个难点一位相和初相的判断计 算. 1.正弦函数与余弦函数的关系 sin +=cos(2-)=-cos(x+2)-cos(+), cosx=sin(E-t）=sin(x+2）=-sin(x+）月 可见，正弦函数能转换为余弦函数，反之亦然 结合导数关系，有 sin'x-cos =sin(),cos'x--sin -cos(). 2.sinx和cosx连续的四阶导数 原函数 sin x cOS x 一阶导数 cos x -sin x 二阶导数 -sin x —COsx 三阶导数 -cos x sin x 四阶导数 sin x cos x 特点：(1)正弦函数的四阶导数仍为本身；(2)导数与原函数量阶相同.角频率为1的正弦 函数，向左平移就是其一阶导函数；余弦函数也是如此. 3.初相的判断和计算 正弦或余弦函数在一个周期内，除波峰（最大值）、波谷（最小值）外，一个函数值对应两个 自变量，通过函数值求位相或初相时，应结合变化趋势判断 二、反三角函数 也许是为了降低高中数学的难度，目前高中数学教材中已去除反三角函数内容，且不使 用余切函数cotx,以下内容仅供了解. 1.反三角函数的值域 反正弦函数aresin的值域是[一2,2] ·087 学科融合研究高中物理与数学 反余弦函数arccos x的值域是[0，π]. 反正切函数aretan的值域是(-乏，受） 2.反三角函数之间的关系 由反三角函数的定义，容易得到以下一组结论： (1)arcsin(-x)=-arcsin x,arccos(-x)=x-arccos x,arctan(-x)=-arctan x. (2)arcsin x+arccos x=. 2。 【经典例题1】如图所示为f(x)=sin(owa十)(g<)的一段图像，求f(x)的表 达式 意（解标1调为-[晋-（仁）小，所以。=2.所以f)=2x+p(g<号》 由图可知x=(一是+)=吾， 因为2×吾十9=受十2kπ，所以9=吾+2km,∈乙.又因为g<受，所以9=君 【评析】因为y=Asin(wx十o)的图像是由y=sinx的图像平移或伸缩得到的. (I)y=Asin(wx十o)的图像上的“最高点”仍旧由y=sinx的图像的“最高点”变得.如图 所示，点A可能由点A:或点A或点A…变得，因此0十g=十2k元，k∈乙 (2)y=Asin(wx十o)的图像上的“最低点”仍旧由y=sinx的图像的“最低点”变得.如图 示，点B可能由点B1或点B2或点B,…交得，因此，wB十十2k元，及 01 (3)y=Asin(wx十o)的图像上的“增区间上的关键点”仍旧由y=sinx的图像的“增区间 上的关键点”变得，如图所示，点C可能由点C1或点C2或点C…变得，因此ωxc十9= 2kπ，k∈Z. ·088参考答案 一、基础函数理解 根据数学知识可知图像应是过原点的抛 1.线性探索 物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率 [达标演练1] 的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的 将公式变形为=+，作出。九图 瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可 像，为一条倾斜直线，如图所示. 知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均 fs·mm- 速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切 线斜率，选项A正确.故选A. 20 h/mm [达标演练3] 取微元发现其阴影面积代表t=∑△t= 由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R= 可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒 数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A 代入数据，得t=60s. 正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着 [达标演练2] 电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选 根据题意可知，物体做匀加速直线运动， 项C正确.由P=UI可知，图像中矩形 满足x=a,画出物体的1图像。 PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际 ↑x/m 功率，选项D正确.故选B. tis ·197 2.曲线的韵律 将yx=尽·代人轨迹方程，相 =3、g [达标演练1] 0=60°，即为最远发射角.故选AB. 如图所示. [达标演练2] (1)小球在BC段做匀速直线运动，所受 合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平 0 衡状态，小球所受支持 ... ...