【学科融合研究——高中物理与数学】五、导数与微元的思想 1· 导数

学科融合研究高中物理与数学 五、导数与微元的思想 1.导数 【必备知识】 1.常用函数的导数： (1)原函数为y=c(c为常数)，导数为y=0. (2)原函数为y=x”,导数为y=n.x”-1。 (3)原函数为y=sinx,导数为y'=cosx. (4)原函数为y=cosx,导数为y=-sinx. 2.导数的四则运算： 1)u士o)'=a士o2(uw/=o+aw:(3(台广=“o,0 【经典例题1】如图所示，一人通过动滑轮斜向上拉一水平地面上的物体，假定绳子 面 不可伸长且始终绷紧，某时刻此人拉绳的速度大小为，绳与水平面的夹角为0，求此时物体 运动的速度的大小. 【解析蜘因所示，不坊将昆子末瑞加长，与墙面相文于A点，A点矩地面的高度为 h,动滑轮P与墙面的距离为x,墙面左边的绳子的总长度为l,则有(=x十√x2十h. 将1看作关于x的画数，对x求导数可得'(x)=1十号· 2x 2 Vx2十h2 1+x =1+cos0. √x2+h2 而实际上，x也是关于时间t的函数，根据复合函数求导公式有 l'[x(t)]=1'(x)x'(t)=(1+cos0)x'(t). 根据导数含义知(t)是绳子长度变化的速度的大小，即拉绳子的速度，x'()即物体运 动的速度知的大小，故十C0s日当然此题也可从功的原理出发，利用功率相等计算。 ·110 学科融合研究高中物理与数学 【经典例题2】如图所示，两个半径均为R的薄圆环（环心分别为O,和O2)在同一平 面上，令左边的圆环静止，右边的圆环O2紧贴左边的圆环O并以速度沿O1O2的连线方向 向左运动，试求两圆环上部的交点A的速度与两环圆心间距d的关系. 【解析】如图建立平面直角坐标系xO,y,设任意时刻t两环圆心之间的距离为d= t,则 圆环O1的方程为x2十y2=R, 圆环O2的方程为(x一t)2十y2=R2, 两式相减得A点的榜坐标x=,故w=(0= 将圆环O方程对时间t求导数可得2xx'(t)十2yy'(t)=0, 化简得y'(t)=一工x'(), y 即UA=-乙UA:, y 所以2=n2十a,2=+y y204.2=R2 又因为当两环圆心间距为d时，有y2=R ()”,代入上式可得=VR-示” R 器【经典例题3】某人在水平地面上抛出一沙包.问：必须以什么角度抛出，才能保证此 物在运动过程中始终远离抛出点？ C解析】设抛出时沙包的初速度为 ，指射角为0.1时刻沙包的住形大小为，圆 g=(cos00r+(sin0t-ser广-gt-gn0f+r. 令上式右边为()，即y()=g-gin0·十心，只要y(0在1>0时随1增大即 可保证s也随t增大.对y(t)求导数得y'(t)=g2t3一3 ogsin0·t2十2t=t(g2t2一3 vgsin0· t+2).要使y(t)在t>0时为增函数，必须使y'(t)>0,即gt2-3 vgsin0·t+2u2>0. g2t2-3 ugsin Ot+22可看作是关于t的一元二次方程，△=(-3 vgsin0)2-8g22<0, 化荷得sm0<2号，即角度小于0,5 ·111参考答案 一、基础函数理解 根据数学知识可知图像应是过原点的抛 1.线性探索 物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率 [达标演练1] 的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的 将公式变形为=+，作出。九图 瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可 像，为一条倾斜直线，如图所示. 知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均 fs·mm- 速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切 线斜率，选项A正确.故选A. 20 h/mm [达标演练3] 取微元发现其阴影面积代表t=∑△t= 由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R= 可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒 数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A 代入数据，得t=60s. 正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着 [达标演练2] 电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选 根据题意可知，物体做匀加速直线运动， 项C正确.由P=UI可知，图像中矩形 满足x=a,画出物体的1图像。 PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际 ↑x/m 功率，选项D正确.故选B. tis ·197 2.曲线的韵律 将yx=尽·代人轨迹方程，相 =3、g [达标演练1] 0=60°，即为最远发射角.故选AB. 如图所示. [达标演练2] (1)小球在BC段做匀速直线运动，所受 合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处 ... ...