学科融合研究高中物理与数学 2.流体问题 【必备知识】 一、水流等流体问题的简化 真实的水流运动，特别是高速水流运动，问题十分复杂，因为水有表面张力，流动过程中 会形成湍流、漩涡…研究这些问题是流体力学的内容，非高中物理之所及（物理竞赛中会涉 及伯努利原理). 习题中出现的低速水流问题一般可做以下简化处理： 1.水不可压缩， 2.形成稳流后，各部分的体积和运动不随时间而改变，在与流动速度垂直的截面上各点 速度一致。 3.水流任意各部分间无相互作用，分析喷水问题时，可以选取一体积元为研究对象，将其 当作运动的“固体”，运用抛体运动规律分析. 二、流体问题的建模 1.竖直喷水问题 【经典例题1】在抽水机的作用下，水从截面积为S的管口竖直向上喷出，水离开管 W 口处的速度为，求抽水机的输出功率， 巧种建根思路，一种是建立水柱模型 一些解答中出现了错误.通过下面对解法正误的辨析，读者可以体会如何正确建模来分析喷 水问题。 模型法错解将水柱看作一圆柱体，研究距管h高处的水柱，在距离管口x高处取一质 量元△，分析其机械能，有 △E.=2△m,+△mg 2=v.2十2gx, 由此两式得△E,= F2△m%2. △E,与质量元△m所处的管口高度无关，这意味着对任一质量元△，机械能大小都是 ·120 学科融合研究高中物理与数学 号△mw2,则总质量为m的水柱的总机战能为E=mu2=司PSw2 此机械能来自抽水机微功，故输出功率为P=E=。 t2S2. h t 又因水在上升过程中做匀减速运动，有？-可= 21 代入上式得P=s 【错解分析】以上计算过程是严谨的，但错在开头所选的水柱模型，此点可用反证法证明： 形成稳流后，水流各部分的体积不随时间变化，假设水柱各高度截面积相同，在其中间载取一 定长的水柱，则在相同时间内此水柱下底流入的水多于上底流出的水.由于水不可压缩.截取 的水柱体积必定增大.此水柱模型的错误也出现于一些文献中， 模型法正解一由于水喷出后的运动状态与抽水机输出功率无关，可以假设水喷出后没 有受到重力作用，做匀速运动，取h长的水柱，分析其中任一质量元△m,有 故E= 2%2= 1 Shu 又有h=nt, 联立解得P=E-1 t20Sv3. 模型法正解二假设喷出的水流到达最高处速度为零后，被一蓄水装置收集，从总体上 看，是原来水池中静止的水被抽水机送上一高处，被抽上的水的势能增加了. 形成稳流后，△时间内，从水池进入抽水机的水量、从抽水机管口喷出的水量与在最高 处被收集的水量均相等，根据条件可得收集到的水的质量m=pS△t, 上升高度h= 2g1 △t时间内，这部分水增加的势能E,=mgh= 20Sw,34t, 抽水机的功率P=E=1 4t2oS,3. 微元法错解设抽水机对水产生的作用力为F,△t时间内通过喷水口的水质量为△， 则有F·△t=△m, △m=pSo△t, 联立解得F=pSo,利用公式P=F℃得输出功率P=F=S3. ·121参考答案 一、基础函数理解 根据数学知识可知图像应是过原点的抛 1.线性探索 物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率 [达标演练1] 的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的 将公式变形为=+，作出。九图 瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可 像，为一条倾斜直线，如图所示. 知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均 fs·mm- 速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切 线斜率，选项A正确.故选A. 20 h/mm [达标演练3] 取微元发现其阴影面积代表t=∑△t= 由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R= 可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒 数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A 代入数据，得t=60s. 正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着 [达标演练2] 电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选 根据题意可知，物体做匀加速直线运动， 项C正确.由P=UI可知，图像中矩形 满足x=a,画出物体的1图像。 PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际 ↑x/m 功率，选项D ... ...
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