【学科融合研究——高中物理与数学】八、近似计算与忽略处理的艺术 1· 近似计算

学科融合研究高中物理与数学 八、近似计算与忽略处理的艺术 1.近似计算 【必备知识】 1.函数f(x)=(1十x)的泰勒展开式为1十咒x+m2》·x十…十 1×2 m(m-1)(m-n十1Dx“, 1X2X…Xxn 当x《1时，可以略去第3项起的以后各项，得近似式(1十x)"≈1十x,也可类似写成 1+5）}≈1+m y 其中，m可以是正数、负数或分数，如1+x)≈1十x,1十，=(1十x)≈1一， 同理可得，当x《a时，略去高次项后有近似式x=a ≈ atx 1+z a 三个常用的简单近似计算式，当x《a时：a十x≈a,乙≈0，a十≈1， a-x 当|x《1,y《1时，则有近似式(1十x)m(1十y)"≈1十mx+y. 2.sin x=x 3!5!7+…, tanx=x+号+2g+17x+, 3+15+315 由于1am2≥sn8.各式除以sm0.得og产品g≥1， 倒数变形为c0s0长沿0≤1. 当0趋近于零时，0s0趋近于1，趋近于1， i很小时，sini≈tani≈i,cosi≈l,sin icos i≈i. 黑【经典例题1】海平面并不平，而是球面的一部分.在风平浪静的海面上，一只航船的 桅杆尖头高出海平面约5m,估算被岸边的观察者发现时，距岸边的航程至多是多大？假设 观察者的双眼也高出岸边的海面约5m高.（地球半径取6400km) ·184 学科融合研究高中物理与数学 【解析】如图甲所示，由于球面凸起而使中间部分高出水平视线的距离叫弓高（严格 说是海面上过海岸站立处与船底的大圆劣孤的弓高) 依题意，应形成5m高的弓高，如图乙所示， 下高 th 图甲 图乙 设航程为，由几何关系有 h=R1-cos号)=2Rsin是， 由于0很小，m名号代入可得Ag 8 又0=京，可得s=√8Ri=V8x6.4X10X5m=1.6×10'm=16km. 【经典例题2】试推导双缝干涉的路程差公式. 【解析】双缝干涉示意图如图所示，设从N、M两缝到屏上P点的距离（路程）分别为 r1、r2,双缝的中点O与P点的连线与OO'方向的夹角为0.作MC⊥NP,则由双缝射至P点 的两束光的路程差为 6=r2-n1≈dsin0,因为x=PO=ltan0≈lsin0,所以6= d a. P 【经典例题3】如图所示，一根细绳绕过两个相距为1的光滑定滑轮，悬挂两个质量 均为m的物体，在绳的中点悬挂一个质量为o的物体，整个系统处于平衡状态，现将结点O 少许拉下一点后轻轻释放，则物体o将做什么运动？ ·185参考答案 一、基础函数理解 根据数学知识可知图像应是过原点的抛 1.线性探索 物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率 [达标演练1] 的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的 将公式变形为=+，作出。九图 瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可 像，为一条倾斜直线，如图所示. 知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均 fs·mm- 速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切 线斜率，选项A正确.故选A. 20 h/mm [达标演练3] 取微元发现其阴影面积代表t=∑△t= 由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R= 可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒 数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A 代入数据，得t=60s. 正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着 [达标演练2] 电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选 根据题意可知，物体做匀加速直线运动， 项C正确.由P=UI可知，图像中矩形 满足x=a,画出物体的1图像。 PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际 ↑x/m 功率，选项D正确.故选B. tis ·197 2.曲线的韵律 将yx=尽·代人轨迹方程，相 =3、g [达标演练1] 0=60°，即为最远发射角.故选AB. 如图所示. [达标演练2] (1)小球在BC段做匀速直线运动，所受 合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平 0 衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根 以发射点为原点建立平面直角坐标系， 据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小 设发射角为0， 球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小 1 x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g, 相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为 两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一 1N,方向竖直向下. &x2 26·(tan20+1). (2)小球从静止到C点 ... ...