【学科融合研究——高中物理与数学】二、深入解析判别式与不等式 1· 判别式的多张面孔

学科融合研究高中物理与数学 二、深入解析判别式与不等式 1.判别式的多张面孔 【必备知识】 用根与系数的关系判断方程的根，在一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)中： (1)若b一4ac<0,则方程没有实数根. (2)若b2一4ac=0,则方程有两个相等的实数根. (3)若b2一4ac>0,则方程有两个不相等的实数根 利用判别式解答物理问题，要根据题目所给条件，把某物理量跟自变量之间的函数关系 转化成a,x2十bx十y=0的形式.解不等式△=b2一4ay≥0，找出y的最大值或最小值，把所求 出的最值代入原式中，找出最大值或最小值的条件， 量【经典例题1】如图所示，甲、乙两小车相距为，甲在后，乙在 前，沿着同一条直线同时开始向前运动，甲以速度。匀速运动，乙由静止开始以加速度α匀 加速运动，试讨论甲、乙能否相遇及相遇的时间. 幕【解析】解法1：利用判别式解谷。 从乙开始运动计时，以甲起始位置为坐标原点，向右为正方向，则有 sp=ot,sz=s十7at2, 两车相遇时，有s甲=$乙， 联立以上式子可得at2一2t十2s=0. 这是一个关于t的二次方程，是否有解要从判别式来讨论： ①若△=42一8as<0,即m2<2as,则方程无解，不存在t值使方程成立，即甲追不上乙. ②若△=4,2一8a5=0,即2=2as,则方程有两个相同的解，即开始后t=时刻，甲追 a 上乙，此时两车等速 ③若△=4-8a>0,即2>2as,则方程有两个不同的解，两个解为1=-√-2a时 2=6十Vw2-2as 开始后1时刻甲追上乙，此后甲超过乙，但乙的速度继续增大，当乙的速度大于甲的速 ·030 学科融合研究高中物理与数学 度后，甲、乙之间的间距开始变小，到2时刻乙又追上甲并超过甲. 解法2：物理角度分析 采用物理的角度分析，以体会题中所给条件的实际意义：甲车匀速运动，其速度不变； 乙车具有加速度，乙车的速度越来越快，甲要追上乙，必须在乙的速度比它的速度大之前，否 则甲就没有追上乙的希望， 甲、乙两车等速所需要的时间为= E这个时间内追上乙或超过乙，所以有防 解得2≥2as. 墨【经典例题2】火车甲以速率向前行驶，司机忽然发现，在正前方同一轨道上距车 、处有另一火车乙，正沿同方向以较小的速率2做匀速运动.他立即使火车做匀减速运动，加 速度大小为a,为了使火车不至相撞，则加速度a应该满足什么条件？ 【解析】两列火车分别做匀减速运动和匀速运动，经时间：位移分别头 x=vt- 2a1,x2=2t, 由两车刚好相接时的位移条件=十，得1一2a=购1十s, 化简得at2一2(1一2)t十2s=0. 这是一个关于的一元二次方程，如果没有两个不同的实数解，说明两车就会相撞，因 此，要求其判别式△=4(-2)2一8as≤0， 所以，要求加速度为a≥（一） 2s 【说明】应该注意本题中仅要求两车不相撞，因此只需满足一个位移条件，如果要求两车 相遇不相撞，则必须同时满足位移条件和速度条件，即后车速度应不大于前车速度，临界情况 下两车等速，题中解法仅作为利用判别式求极值的一个实例，并非最佳解法，实际解题时，可 以利用t图像，或选取做匀速运动的火车为参考系等方法，都可以更迅速地解答， 【经典例题3】在光滑的水平轨道上，有两个半径都是，的小球A和B,质量分别为 m和2m,当两球心间的距离大于(l比2r大得多)时，两球之间无相互 作用力，当两球心间距等于或小于1时，两球间存在相互作用的恒定斥 力F,设A球从离B球很远处以速度沿两球心连线向静止的B球运动，如图所示，求两球 不发生接触，必须满足的条件 ·031参考答案 一、基础函数理解 根据数学知识可知图像应是过原点的抛 1.线性探索 物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率 [达标演练1] 的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的 将公式变形为=+，作出。九图 瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可 像，为一条倾斜直线，如图所示. 知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均 fs·mm- 速度，显然 ... ...