【学科融合研究——高中物理与数学】二、深入解析判别式与不等式 2· 不等式的秘密

学科融合研究高中物理与数学 2.不等式的秘密 【必备知识】 在高中阶段，均值不等式中最常用的是“对于若干个非负实数，它们的算术平均数不小于 几何平均数，表达式为a十a十…+a≥a14,…a (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),a+b≥2√ab(a,b∈R+). (2)2+8≥2a6eR): (3) ≥6eR[或≥受攻<(a6eR)小 2 (4)调和不等式1十1、2 2 la2+b -(a,b∈R+). (5)最值定理： ①设、y都是正数，若十y=s(和为定值)，则当x=y时，积y取得最大值； ②设x、y都是正数，若xy=(积为定值)，则当x=y时，和x十y取得最小值2√p. (6)(a2+b)(c2+d)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R+),当且仅当ad-bc=0时等号成立. (7)a3+b3+c3≥3abc,a十b十c≥3abc(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时，等号成立， 证明：a3+b3+c3-3abc=(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-3ab) =(a+b)(a2-ab+82)+c(c2-3ab+a2-ab+b2-a2+ab-b2) =(a+b)(a2-ab+b2)+c[(c2-a2-2ab-b2)+(a2-ab+b)] =(a+b)(a2-ab+b2)+c[c2-(a+b)2]+c(a2-ab+b2) =(a+b+c)(a2-ab+62)+c(a+6+c)(c-a-b) =(a+b+c)(a2+62+c2-ab-bc-ac) 因为a,b,c>0,所以a+b+c>0. a+b+e2-ab-be-ac-2a'+26:+2c-2ab-26c-2ac 2 _(a-b)+(ac)2+(6-c)'≥0， 2 所以a3+b2+c3-3abc≥0， 所以a3十b3十c3≥3abc,当且仅当a=b=c时，等号成立. ·036 学科融合研究高中物理与数学 【经奥例题1门已知正数工，)的和为定值m,水号十的极小值 得折1屏法1：+--红十2 y2 x2y2 x2y2 多品京g- 显然m>1,故当xy取得最大值时，上式有最小值， xy 而x-此时=y 代入式可得十> m21 解法2：借助调和不等式11≤√2 2 a2+b2 求解 a'b 1,1 令4三b一代入上式可得2 2=2一0，所以 122,所以+8 y x十ym 十ym 【经典例题2】如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m=0.5kg的小物块， 它与水平台阶表面间的动摩擦因数：=0.5，且与台阶边缘O点的距离s=5m.在台阶右侧周 定了一个以O点为圆心的圆弧形挡板，现用F=5N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤 去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板.(g取10m/s2) (1)若小物块恰能击中挡板的上边缘P点，P点的坐标为 F 1.6 LCCCCCCCCC0CC00060 0.8 x/m (1.6m,0.8m),求其离开O点时的速度大小： (2)为使小物块击中挡板，求拉力F作用的距离范围； (3)改变拉力F的作用距离，使小物块击中挡板的不同位 y/m 置，求击中挡板时小物块速度的最小值和此时物块下落的高度.（结果可保留根式） 票【解析1)授小物块高开0点时的建度为，由平把运功规律有 在水平方向有x=t, 在竖直方向有y=8, 其中x'=1.6m,y=0.8m,解得=4m/s. (2)为使小物块击中挡板，小物块必须能运动到O点，设拉力F作用的最短距离为x1,由 动能定理得Fx1一mgs=0,解得x1=2.5m. ·037参考答案 一、基础函数理解 根据数学知识可知图像应是过原点的抛 1.线性探索 物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率 [达标演练1] 的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的 将公式变形为=+，作出。九图 瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可 像，为一条倾斜直线，如图所示. 知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均 fs·mm- 速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切 线斜率，选项A正确.故选A. 20 h/mm [达标演练3] 取微元发现其阴影面积代表t=∑△t= 由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R= 可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒 数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A 代入数据，得t=60s. 正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着 [达标演练2] 电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选 根据题意可知，物体做匀加速直线运动， 项C正确.由P=UI可知，图像中矩形 满足x=a,画出物体的1图像。 PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际 ↑x/m 功率，选项D正确.故选B. tis ·197 2.曲线的韵律 将yx=尽·代人轨迹方程，相 =3、g [达标演练1] 0=60°，即为最远发射角.故选AB. 如图 ... ...