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课件网) 第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理 及其应用 第2课时 勾股定理的逆定理 的应用 1. 理解勾股定理与其逆定理的区别和联系. 2. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识. (重点) 3. 割补思想、转化思想和数形结合思想的应用. (难点) A B C a b c 勾股定理： 在 Rt△ABC 中， 若∠C = 90°， 则_____ 勾股定理的逆定理： 回顾所学，并完成下列框图. 互逆定理 a2 + b2 = c2 在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则△ABC 为直角三角形且∠C = 90°. 在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧. 情境导入 1 2 例1 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上. “蓝天”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“蓝天”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“蓝天”号沿东北方向航行，那么“海天”号 沿什么方向航行吗？ N E P Q R 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 1 2 N E P Q R 实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？ 16×1.5=24 12×1.5=18 30 24 18 30 “蓝天”号沿东北方向 ∠1 = 45° 抽象成数学问题 解决实际问题 1 2 N E P Q R 几何问题： 知_____， 求_____ PQ,PR,QR 的长 ∠2 的度数 利用勾股定理逆定理求度数 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 解：根据题意， PQ = 16×1.5 = 24， PR = 12×1.5 = 18，QR = 30. 1 2 N E P Q R 由“蓝天”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. 所以∠QPR = 90°. 因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2， 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 归纳总结： 解决实际问题的步骤： ① 构建几何模型（从整体到局部）； ② 标注有用信息，明确已知和所求； ③ 应用数学知识求解. 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 【变式题】 如图，南北方向PQ以东为某国领海，以西为公海，晚上10时28分，边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向该国沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入该国领海？ 东 北 P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定理可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求 PD，然后再利用勾股定理便可求 CD. 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 解：∵ AC = 10，AB = 6，BC = 8， ∴ AC2 = AB2 + BC2， 即△ABC 是直角三角形. 设 PQ 与 AC 相交于点 D，根据三 角形面积公式有 BC · AB = AC · BD， 即 6×8 = 10BD，解得 BD = 在Rt△BCD 中， 东 北 P A B C Q D 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 又∵ 该船只的速度为 12.8 海里/时， 6.4÷12.8 = 0.5(小时)= 30(分钟)， ∴ 需要 30 分钟进入我领海，即最早晚上 10 时 58 分进入我领海. 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用 问题：勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？ 区别 联系 (1) 勾股定理是已知直角三角形，得出三边之间的关系；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角形. (2) 勾股定理是直角三角形的性质定理， 而其逆定理是判定定理. 勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关. 例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，AD＝ ，DC＝ . 如果 AC⊥BC，判断 AC 与AD 是否也垂直，并说明理由. 分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股 ... ...
